This section allows you to view all posts made by this member. Note that you can only see posts made in areas you currently have access to.
Messages - Roni
1
« pada: Desember 17, 2024, 09:09:05 AM »
\section{Membalik Persamaan}
Andaikan $f \,:\, \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ adalah sebarang pemetaan yang kontinyu. Persamaan $y = f(x)$ dapat dibalik dengan menyatakan $x$ dalam $f$ dan $y$, yaitu bahwa $x = f^{-1}(y)$ di mana $f^{-1}(y)$ adalah pra-bayangan dari $y$ terhadap $f$, serta $x$ tidak harus tunggal.
Andaikan kali ini $f, g \,:\, \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ adalah sebarang dua buah pemetaan yang kontinyu, serta $\alpha \in \mathbb{R}$ adalah sebarang tetapan. Pemetaan-pemetaan $f\circ g$, $fg$, $(f, g)$, dan $\alpha f$ didefinisikan sedemikian rupa sehingga
\[ (f\circ g)(x) = f(g(x)), \]
\[ (fg)(x) = f(x)g(x), \]
\[ (f, g)(x) = (f(x), g(x)), \]
serta
\[ (\alpha f)(x) = \alpha f(x) \]
untuk semua $x \in \mathbb{R}$.
Pemetaan $c_1, \operatorname{id} \,:\, \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ hendak didefinisikan sedemikian rupa sehingga
\[ c_1(x) = 1 \]
dan
\[ \operatorname{id}(x) = x \]
untuk setiap $x \in \mathbb{R}$.
Andaikan kali ini $f \,:\, \mathbb{R}\times\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ adalah sebarang pemetaan dengan dua buah valensi. Persamaan $z = f(x, y)$ dapat dibalik, misalnya, dengan menyatakan $x$ dalam $f$, $y$, dan $z$. Untuk membaliknya, akan dilakukan prosedur sebagai berikut.
\[ z = f(x, y). \]
\[ z = f(\operatorname{id}(x), yc_1(x)). \]
\[ z = f((\operatorname{id}, yc_1)(x)). \]
\[ z = [f\circ(\operatorname{id}, yc_1)](x). \]
\[ x = [f\circ(\operatorname{id}, yc_1)]^{-1}(z). \]
Dengan demikian $x$ sudah dinyatakan dalam $f$, $y$, dan $z$ di mana $x$ tidak harus tunggal. Inilah contoh sederhana dari pembalikan persamaan tersebut. Pembaca dapat mengembangkan sendiri konsep ini dengan cara membuat kasus yang lebih umum untuk persamaan-persamaan yang mengandung pemetaan kontinyu bervalensi lebih dari dua.
2
« pada: Februari 08, 2024, 03:43:39 PM »
\section{Rumus Barisan Kuadratik}
Apabila $u_n, a, b, c \in \mathbb{C}$ dan $n \in \mathbb{N}$, serta
\[ u_n := an^2 + bn + c, \]
maka didefinisikan
\[ v_n := u_{n + 1} - u_n \]
serta
\[ w_n := v_{n + 1} - v_n. \]
Oleh karena itu,
\[ u_1 = a + b + c, \]
\[ u_2 = 4a + 2b + c, \]
\[ u_3 = 9a + 3b + c, \]
\[ v_1 = 3a + b, \]
\[ v_2 = 5a + b, \]
\[ w_1 = 2a \]
sehingga
\[ a = (1/2)w_1, \]
\[ v_1 = (3/2)w_1 + b, \]
\[ b = v_1 - (3/2)w_1, \]
\[ u_1 = (1/2)w_1 + [v_1 - (3/2)w_1] + c, \]
\[ c = u_1 - v_1 + w_1, \]
\[ u_n = (1/2)w_1n^2 + [v_1 - (3/2)w_1]n + [u_1 - v_1 + w_1]. \]
Oleh karena itu,
\[ u_n = (1/2)w_1(n^2 - 3n + 2) + v_1(n - 1) + u_1 \]
alias
\[ u_n = (1/2)w_1(n - 1)(n - 2) + v_1(n - 1) + u_1. \]
Dengan demikian, diperoleh rumus barisan kuadratik.
3
« pada: Desember 29, 2023, 12:04:42 AM »
4
« pada: Februari 17, 2023, 05:19:13 PM »
Kita mengenal fungsi eliptik jenis pertama, yaitu
\[ F(k, \phi) := \int_0^\phi \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\theta}}. \]
Fungsi $\operatorname{amp}_k$ merupakan fungsi amplitudo yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga
\[ \operatorname{amp}_k F(k, \phi) = \phi. \]
Tentu saja, $F(0, \phi) = \phi$ sehingga $\operatorname{amp}_0 F(0, \phi) = \phi = F(0, \phi)$.
Ada fungsi eliptik yang lain, yaitu $\operatorname{dn}_k$ yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga
\[ \operatorname{dn}_k u := d\operatorname{amp}_k u/du \]
sehingga apabila $k = 0$ dan $u = F(0, \phi)$, maka
\[ \operatorname{dn}_0 F(0, \phi) = d\operatorname{amp}_0 F(0, \phi)/dF(0, \phi) \]
\[ = \frac{d\phi}{dF(0, \phi)} = \frac{1}{\frac{d}{d\phi}F(0, \phi)} = \frac{1}{d\phi/d\phi} = 1. \]
5
« pada: Februari 17, 2023, 02:39:32 PM »
Fungsi $\operatorname{gd}$ itu biasa dikenal sebagai Gudermanian yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga
\[ \ln(\sec\operatorname{gd} w + \tan\operatorname{gd} w) = w. \]
Di sini, telah dipakai identitas trigonometri, misalnya $\sec^2\alpha = 1 + \tan^2\alpha$, dan sebagainya. Selain itu, di sini, telah digunakan identitas fungsi-fungsi hiperbolik, misalnya $\cosh u := (e^u + e^{-u})/2$ dan $\sinh u := (e^u - e^{-u})/2$ serta $\tanh u := (\sinh u)/(\cosh u)$.
6
« pada: Februari 10, 2023, 03:30:58 PM »
Salah satu definisi fungsi Beta $B$ adalah
\[ B(x, y) := \int_0^1 t^{x - 1}(1 - t)^{y - 1}dt. \]
Dengan menukar $x$ dan $y$ pada ungkapan tersebut, serta dengan melakukan penggantian variabel, kita peroleh hubungan istimewa, yaitu
\[ B(y, x) = B(x, y). \]
7
« pada: Februari 10, 2023, 02:52:58 PM »
Di sini, telah dipakai rumus integral parsial. Dari rumus ini, diperoleh rumus
\[ \int f(x)g(x)dx = \sum_{j = 0}^\infty f^{(j)}(x)g^{(-j - 1)}(x) + C \]
di mana $f^{(j)}(x) := d^jf(x)/dx^j$.
Selain itu, juga diterapkan rumus
\[ \frac{d^j}{dx^j}x^n = \frac{n!}{(n - j)!}x^{n - j}. \]
8
« pada: Februari 10, 2023, 02:45:37 PM »
Ini semua berasal dari definisi fungsi gamma $\Gamma$, yaitu
\[ \Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x - 1}e^{-t}dt \]
untuk semua $x \in \mathbb{R}$ yang bukan nol dan bukan bilangan bulat negatif.
Dari definisi ini, kita dapat mencari nilai fungsi gamma untuk bilangan-bilangan istimewa, misalnya bilangan bulat positif dan bilangan setengahan, yaitu $\pm 1/2, \pm 3/2, \pm 5/2, \cdots$.
Di sini, telah diterapkan rumus integral parsial, yaitu $\int u\,dv = uv - \int v\,du + C$ dan sistem koordinat polar datar dua-dimensi.
9
« pada: Oktober 07, 2022, 04:55:01 PM »
\section{Pembuktian Teorema Fundamental Kalkulus}
Teorema fundamental kalkulus mengatakan bahwa
\[ \int_a^b f'(x)dx = f(b) - f(a) \]
di mana $a, b \in \mathbb{R}$, $f \,:\, \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ adalah fungsi kontinyu, dan $f'$ adalah turunan pertama dari $f$.
Karena
\[ \int_a^b f(x)dx := \lim_{n \to \infty}\sum_{j = 0}^n f\left(a + j\frac{b - a}{n}\right)\frac{b - a}{n}, \]
maka
\[ I := \int_a^b f'(x)dx \]
alias
\[ I = \lim_{n \to \infty}\sum_{j = 0}^n f'\left(a + j\frac{b - a}{n}\right)\frac{b - a}{n}. \]
\[ I = \lim_{n \to \infty}\sum_{j = 0}^n \lim_{\epsilon \to 0}\frac{f\left(a + j\frac{b - a}{n} + \epsilon\right) - f\left(a + j\frac{b - a}{n}\right)}{\epsilon}\frac{b - a}{\epsilon}. \]
\[ I = \lim_{n \to \infty}\sum_{j = 0}^n \frac{f\left(a + (j + 1)\frac{b - a}{n}\right) - f\left(a + j\frac{b - a}{n}\right)}{\frac{b - a}{n}}\frac{b - a}{n}. \]
\[ I = \lim_{n \to \infty}\left[f\left(a + (n + 1)\frac{b - a}{n}\right) - f(a)\right]. \]
\[ I = f(b) - f(a). \]
10
« pada: September 10, 2022, 06:57:14 PM »
\section{Gerak Melingkar di $\mathbb{R}^2$}
Misalkan ada sebuah partikel yang bergerak melingkar di $\mathbb{R}^2$ dengan posisi
\[ \vec{r} = l(\hat{x}\sin\theta - \hat{y}\cos\theta) \]
di mana $l$ adalah jari-jari lintasan gerak melingkar yang konstan, $\hat{x} := (1, 0)$, $\hat{y} := (0, 1)$, dan $\theta \in \mathbb{R}$ adalah sudut putar yang bergantung pada waktu $t \in \mathbb{R}$. Tentu saja, kecepatan partikel tersebut adalah
\[ \vec{v} = \dot{\vec{r}} = l\dot{\theta}(\hat{x}\cos\theta + \hat{y}\sin\theta) \]
dan percepatan partikel tersebut adalah
\[ \vec{a} := \dot{\vec{v}} = l\ddot{\theta}(\hat{x}\cos\theta + \hat{y}\sin\theta) + l\dot{\theta}^2(-\hat{x}\sin\theta + \hat{y}\cos\theta) \]
\[ = l[\hat{x}(\ddot{\theta}\cos\theta - \dot{\theta}^2\sin\theta) + \hat{y}(\ddot{\theta}\sin\theta + \dot{\theta}^2\cos\theta)]. \]
Di sini didefinisikan $\dot{Q} := dQ/dt$ dan $\ddot{Q} := d\dot{Q}/dt$ untuk sebarang besaran $Q$.
Vektor satuan yang searah $\vec{v}$ adalah
\[ \hat{v} := \vec{v}/|\vec{v}| = \hat{x}\cos\theta + \hat{y}\sin\theta. \]
Kuadrat besar percepatannya adalah
\[ |\vec{a}|^2 = l^2[(\ddot{\theta}^2\cos^2\theta + \dot{\theta}^4\sin^2\theta - 2\ddot{\theta}\dot{\theta}^2\cos\theta\sin\theta) + (\ddot{\theta}^2\sin^2\theta + \dot{\theta}^4\cos^2\theta + 2\ddot{\theta}\dot{\theta}^2\sin\theta\cos\theta)] \]
\[ = l^2(\ddot{\theta}^2 + \dot{\theta}^4). \]
Percepatan tangensialnya adalah
\[ \vec{a}_{//} := \vec{a}\cdot\hat{v}\hat{v} \]
sedangkan percepatan sentripetalnya adalah
\[ \vec{a}_\bot := \vec{a} - \vec{a}_{//}. \]
Tentu saja,
\[ \vec{a}\cdot\hat{v} = l[(\ddot{\theta}\cos\theta - \dot{\theta}^2\sin\theta)\cos\theta + (\ddot{\theta}\sin\theta + \dot{\theta}^2\cos\theta)\sin\theta] \]
sehingga
\[ (\vec{a}\cdot\hat{v})^2 = l^2[(\ddot{\theta}^2\cos^2\theta + \dot{\theta}^4\sin^2\theta - 2\ddot{\theta}\dot{\theta}^2\cos\theta\sin\theta)\cos^2\theta \]
\[ + (\ddot{\theta}^2\sin^2\theta + \ddot{\theta}^2\cos^2\theta + 2\ddot{\theta}\dot{\theta}^2\sin\theta\cos\theta)\sin^2\theta \]
\[ + 2(\ddot{\theta}^2\cos\theta\sin\theta + \ddot{\theta}\dot{\theta}^2\cos^2\theta - \ddot{\theta}\dot{\theta}^2\sin^2\theta - \dot{\theta}^4\sin\theta\cos\theta)\cos\theta\sin\theta] \]
\[ = l^2[\ddot{\theta}^2(1 - 2\sin^2\theta + \sin^4\theta) + \ddot{\theta}^2\sin^4\theta + 2\ddot{\theta}^2\sin^2\theta(1 - \sin^2\theta)] = l^2\ddot{\theta}^2 \]
alias
\[ |\vec{a}_{//}| = l|\ddot{\theta}| = |\alpha|R \]
di mana $\alpha := \ddot{\theta}$ adalah percepatan sudutnya dan $R := l$. Selanjutnya,
\[ |\vec{a}_\bot|^2 = |\vec{a}|^2 - |\vec{a}_{//}|^2 = l^2\dot{\theta}^4 \]
alias
\[ |\vec{a}_\bot| = l|\dot{\theta}|^2 = \omega^2R \]
di mana $\omega := \dot{\theta}$.
11
« pada: Agustus 09, 2022, 09:39:41 AM »
\section{Segitiga Geodesik yang Seperti Waktu, Seperti Cahaya, dan Seperti Ruang di Ruang Minkowski}
Kuadrat jarak antara titik $A := (t_0, x_0, y_0, z_0)$ dan $B := (t_1, x_1, y_1, z_1)$ di ruang Minkowski adalah
\[ s_{01}^2 = c^2(t_1 - t_0)^2 - (x_1 - x_0)^2 - (y_1 - y_0)^2 - (z_1 - z_0)^2 \]
di mana $c$ adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa. Apabila $s_{01}^2 > 0$, maka vektor $B - A$ itu seperti waktu. Apabila $s_{01}^2 = 0$, maka vektor $B - A$ itu seperti cahaya. Apabila $s_{01}^2 < 0$, maka vektor $B - A$ itu seperti ruang. Andaikan ada segitiga geodesik di ruang Minkowski yang ketiga titik sudutnya adalah $(t_1, x_1, y_1, z_1)$, $(t_2, x_2, y_2, z_2)$, dan $(t_3, x_3, y_3, z_3)$. Di sini, akan dipaksakan
\[ c^2(t_2 - t_1)^2 - (x_2 - x_1)^2 - (y_2 - y_1)^2 - (z_2 - z_1)^2 = s_{12}^2, \]
\[ c^2(t_3 - t_2)^2 - (x_3 - x_2)^2 - (y_3 - y_2)^2 - (z_3 - z_2)^2 = s_{23}^2, \]
\[ c^2(t_1 - t_3)^2 - (x_1 - x_3)^2 - (y_1 - y_3)^2 - (z_1 - z_3)^2 = s_{31}^2. \]
Apabila $s_{12}$, $s_{23}$, dan $s_{31}$ dianggap sudah diketahui dan bersifat bebas, maka di antara kedua belas peubah lainnya, yaitu $t_1$, $t_2$, $t_3$, $x_1$, $x_2$, $x_3$, $y_1$, $y_2$, $y_3$, $z_1$, $z_2$, dan $z_3$, harus ada $3$ peubah yang tidak bebas, sedangkan $12 - 3 = 9$ peubah lainnya dianggap bebas. Agar di antara ketiga peubah tak bebas tersebut (yang diambil dari kedua belas peubah tersebut) tidak ada yang diistimewakan, maka akan dilakukan parameterisasi terhadap kedua belas peubah tersebut, misalnya
\[ c(t_2 - t_1) = s_{12}\cosh\alpha_{12}, \]
\[ x_2 - x_1 = s_{12}\sinh\alpha_{12}\sin\theta_{12}\cos\phi_{12}, \]
\[ y_2 - y_1 = s_{12}\sinh\alpha_{12}\sin\theta_{12}\sin\phi_{12}, \]
\[ z_2 - z_1 = s_{12}\sinh\alpha_{12}\cos\theta_{12}, \]
\[ c(t_3 - t_2) = s_{23}\cosh\alpha_{23}, \]
\[ x_3 - x_2 = s_{23}\sinh\alpha_{23}\sin\theta_{23}\cos\phi_{23}, \]
\[ y_3 - y_2 = s_{23}\sinh\alpha_{23}\sin\theta_{23}\sin\phi_{23}, \]
\[ z_3 - z_2 = s_{23}\sinh\alpha_{23}\cos\theta_{23}, \]
\[ c(t_1 - t_3) = s_{31}\cosh\alpha_{31}, \]
\[ x_1 - x_3 = s_{31}\sinh\alpha_{31}\sin\theta_{31}\cos\phi_{31}, \]
\[ y_1 - y_3 = s_{31}\sinh\alpha_{31}\sin\theta_{31}\sin\phi_{31}, \]
\[ z_1 - z_3 = s_{31}\sinh\alpha_{31}\cos\theta_{31}. \]
Ternyata,
\[ s_{12}\cosh\alpha_{12} + s_{23}\cosh\alpha_{23} + s_{31}\cosh\alpha_{31} = 0, \]
\[ s_{12}\sinh\alpha_{12}\sin\theta_{12}\cos\phi_{12} + s_{23}\sinh\alpha_{23}\sin\theta_{23}\cos\phi_{23} + s_{31}\sinh\alpha_{31}\sin\theta_{31}\cos\phi_{31} = 0, \]
\[ s_{12}\sinh\alpha_{12}\sin\theta_{12}\sin\phi_{12} + s_{23}\sinh\alpha_{23}\sin\theta_{23}\sin\phi_{23} + s_{31}\sinh\alpha_{31}\sin\theta_{31}\sin\phi_{31} = 0, \]
\[ s_{12}\sinh\alpha_{12}\cos\theta_{12} + s_{23}\sinh\alpha_{23}\cos\theta_{23} + s_{31}\sinh\alpha_{31}\cos\theta_{31} = 0. \]
Jumlah peubah tak bebas itu sama dengan jumlah persamaan kendala yang saling bebas satu sama lain.
12
« pada: Agustus 03, 2022, 02:07:50 PM »
\section{Segitiga Geodesik yang Panjang Ketiga Sisinya Nol di Ruang Minkowski}
Persamaan Geodesik pada sebuah manifold licin $M \subseteq \mathbb{R}^m$ berdimensi $n$ yang terbenam di ruang $\mathbb{R}^m$, yang dilengkapi dengan tensor metrik $g := g_{ij}\vec{e}^i\otimes\vec{e}^j$, di mana $g_{ij} \in \mathbb{R}$ adalah komponen kovarian dari $g$, $\vec{e}^i := \nabla q^i$, dengan $\vec{r} \in M$ adalah vektor posisi yang bergantung pada koordinat umum $q^i \in \mathbb{R}$, adalah
\[ \ddot{q}^i + {\Gamma^i}_{jk}\dot{q}^j\dot{q}^k = 0. \]
Di sini, $\dot{q}^i := dq^i/d\lambda$ dan $\ddot{q}^i := d\dot{q}^i/d\lambda$ dengan $\lambda \in \mathbb{R}$ adalah parameter dari $q^i$, serta
\[ {\Gamma^i}_{jk} := \frac{1}{2}g^{il}\left(\frac{\partial g_{jl}}{\partial q^k} + \frac{\partial g_{kl}}{\partial q^j} - \frac{\partial g_{jk}}{\partial q^l}\right) \]
adalah lambang Christoffel. Untuk metrik Minkowski, $n = 4$, serta $g = \eta$, di mana $\eta_{00} = c^2$, $\eta_{11} = \eta_{22} = \eta_{33} = -1$, dan $(\eta_{ij})_{j \neq i} = 0$, dan $q^0 := t$, $q^1 := x$, $q^2 := y$, $q^3 := z$, di mana $c$ adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa. Di sini, $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu, dan $(x, y, z) \in \mathbb{R}^3$ adalah ruang fisis. Oleh karena itu, di ruang Minkowski, berlaku ${\Gamma^i}_{jk} = 0$ untuk setiap $i, j, k \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$, sehingga persamaan geodesiknya menjadi $\ddot{q}^i = 0$ alias $q^i = \alpha^i\lambda + \beta^i$ di mana $\alpha^i, \beta^i \in \mathbb{R}$ adalah tetapan yang hendak dicari kemudian. Apabila $q^i = q^i_0$ ketika $\lambda = 0$, serta $q^i = q^i_1$ ketika $\lambda = 1$, maka diperoleh
\[ q^i = (q^i_1 - q^i_0)\lambda + q^i_0. \]
Tentu saja, $\dot{q}^i = q^i_1 - q^i_0$. Jarak antara titik $(t_0, x_0, y_0, z_0)$ dan $(t_1, x_1, y_1, z_1)$ dalam ruang Minkowsi tentu saja adalah
\[ s_{01} := \int_0^1 \sqrt{g_{ij}\dot{q}^i\dot{q}^j}d\lambda. \]
Karena $g_{ij}$ konstan dan $\dot{q}^i$ juga konstan, maka diperoleh
\[ s_{01} = \sqrt{c^2(t_1 - t_0)^2 - (x_1 - x_0)^2 - (y_1 - y_0)^2 - (z_1 - z_0)^2}. \]
Agar $s_{01} = 0$, maka haruslah
\[ c(t_1 - t_0) = \pm\gamma_{01} \]
di mana $\gamma_{01}$ didefinisikan sedemikian rupa
\[ \gamma_{01} := \sqrt{(x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2 + (z_1 - z_0)^2}. \]
Andaikan ada sebuah segitiga geodesik di ruang Minkowski yang ketiga titik sudutnya adalah $(t_1, x_1, y_1, z_1)$, $(t_2, x_2, y_2, z_2)$, dan $(t_3, x_3, y_3, z_3)$, sehingga dalam hal ini terdapat $4 + 4 + 4 = 12$ peubah bebas. Agar panjang ketiga sisi segitiga tersebut bernilai nol, maka haruslah dipenuhi
\[ c(t_2 - t_1) = \pm_{12}\gamma_{12}, \]
\[ c(t_3 - t_2) = \pm_{23}\gamma_{23}, \]
\[ c(t_1 - t_3) = \pm_{31}\gamma_{31}. \]
Karena dari ke-$12$ buah peubah bebas itu terdapat $3$ buah persamaan sebagai kendala, maka cacah peubah bebas sisanya menjadi $12 - 3 = 9$ buah peubah bebas, serta terdapat $3$ buah peubah tak bebas, yaitu $t_1, t_2, t_3$, yang akan dicari dengan metode matriks dan determinan. Penyajian matriks dari ketiga persamaan terakhir adalah
\[ \begin{pmatrix} -c & c & 0 \\ 0 & -c & c \\ c & 0 & -c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t_1 \\ t_2 \\ t_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \pm_{12}\gamma_{12} \\ \pm_{23}\gamma_{23} \\ \pm_{31}\gamma_{31} \end{pmatrix}. \]
Karena
\[ \Delta := \begin{vmatrix} -c & c & 0 \\ 0 & -c & c \\ c & 0 & -c \end{vmatrix} = 0, \]
serta $\Delta_1$, $\Delta_2$, dan $\Delta_3$ semuanya tidak nol, sedemikian rupa $t_1 = \Delta_1/\Delta$, $t_2 = \Delta_2/\Delta$, dan $t_3 = \Delta_3/\Delta$, maka diperoleh kesimpulan bahwa tidak mungkin ada sebuah segitiga geodesik di ruang Minkowski yang panjang ketiga sisinya semuanya nol.
13
« pada: Juli 24, 2022, 04:59:35 PM »
\section{Maksima, Minima, dan Pelana Kuda dari Fungsi Dua Peubah}
Misalkan ada sebuah fungsi $f \,:\, \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ yang kontinyu. Andaikan didefinisikan $\varphi := f(x, y)$. Andaikan pula, diketahui $\varphi = 0$. Oleh karena itu, pastilah $\varphi$ bergantung pada $x$ dan $y$. Kita akan mencari titik $(x, y)$ yang menyebabkan $\varphi$ bernilai stasioner. Mula-mula, $x$ dan $y$ dianggap bergantung pada $t \in \mathbb{R}$ sehingga $\varphi$ boleh dianggap bergantung pada $t$. Oleh karena itu, agar $\varphi$ bernilai stasioner, maka
\[ \frac{d\varphi}{dt} = \frac{\partial\varphi}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial\varphi}{\partial y}\frac{dy}{dt} = 0 \]
untuk setiap $t$, sehingga syarat agar $\varphi$ bernilai stasioner adalah
\[ \frac{\partial\varphi}{\partial x} = 0 ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ \frac{\partial\varphi}{\partial y} = 0. \]
Misalkan titik $(x, y)$ yang menyebabkan $\varphi$ bernilai stasioner adalah $(x_0, y_0)$. Titik $(x_0, y_0)$ menyebabkan $\varphi$ bernilai maksimum apabila $d^2\varphi/dt^2 < 0$ di titik $(x_0, y_0)$ sehingga
\[ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial\varphi}{\partial y}\frac{dy}{dt}\right) < 0 \]
alias
\[ \frac{d}{dt}\frac{\partial\varphi}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial\varphi}{\partial x}\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{d}{dt}\frac{\partial\varphi}{\partial y}\frac{dy}{dt} + \frac{\partial\varphi}{\partial y}\frac{d^2\varphi}{dt^2} < 0. \]
Karena sudah diketahui $\partial\varphi/\partial x = 0$ dan $\partial\varphi/\partial y = 0$ di titik $(x_0, y_0)$, maka diperoleh
\[ \left(\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial^2\varphi}{\partial x\partial y}\frac{dy}{dt}\right)\frac{dx}{dt} + \left(\frac{\partial^2\varphi}{\partial x\partial y}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}\frac{dy}{dt}\right)\frac{dy}{dt} < 0 \]
alias
\[ \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + 2\frac{\partial^2\varphi}{\partial x\partial y}\frac{dx}{dt}\frac{dy}{dt} + \frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}\left(\frac{dy}{dt}\right)^2 < 0 \]
alias
\[ \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}\left[\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + 2\frac{\partial^2\varphi/\partial x\partial y}{\partial^2\varphi/\partial x^2}\frac{dx}{dt}\frac{dy}{dt} + \frac{\partial^2\varphi/\partial y^2}{\partial^2\varphi/\partial x^2}\left(\frac{dy}{dt}\right)^2\right] < 0 \]
alias
\[ \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}\left[\left\{\frac{dx}{dt} + \frac{\partial^2\varphi/\partial x\partial y}{\partial^2\varphi/\partial x^2}\right\}^2 + \left\{\frac{\partial^2\varphi/\partial y^2}{\partial^2\varphi/\partial x^2} - \left(\frac{\partial^2\varphi/\partial x\partial y}{\partial^2\varphi/\partial x^2}\right)^2\right\}\left(\frac{dy}{dt}\right)^2\right] < 0 \]
alias $\partial^2\varphi/\partial x^2 < 0$ dan
\[ \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}\left\{\frac{\partial^2\varphi/\partial y^2}{\partial^2\varphi/\partial x^2} + \left(\frac{\partial^2\varphi/\partial x\partial y}{\partial^2\varphi/\partial x^2}\right)^2\right\} < 0 \]
alias
\[ \frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2} - \frac{(\partial^2\varphi/\partial x\partial y)^2}{\partial^2\varphi/\partial x^2} < 0 \]
alias
\[ \Delta := \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2} - \left(\frac{\partial^2\varphi}{\partial x\partial y}\right)^2 > 0. \]
Jadi, syarat agar titik $(x_0, y_0)$ menjadikan $\varphi$ bernilai maksimum adalah
\[ \Delta > 0 ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ \partial^2\varphi/\partial x^2 < 0 ~~~~~ \text{atau} ~~~~~ \partial^2\varphi/\partial y^2 < 0 \]
di titik $(x_0, y_0)$. Dengan cara serupa, syarat agar titik $(x_0, y_0)$ menjadikan $\varphi$ bernilai minimum ($d^2\varphi/dt^2 >0$) adalah
\[ \Delta > 0 ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ \partial^2\varphi/\partial x^2 > 0 ~~~~~ \text{atau} ~~~~~ \partial^2\varphi/\partial y^2 > 0 \]
di titik $(x_0, y_0)$. Apabila $\Delta < 0$ di titik $(x_0, y_0)$, maka titik $(x_0, y_0)$ merupakan titik pelana kuda. Apabila $\Delta = 0$ maka tidak diperoleh informasi apa-apa.
14
« pada: Juli 10, 2022, 07:43:32 PM »
\section{Efek Doppler untuk Cahaya}
Kaitan antara waktu $t \in \mathbb{R}$ menurut kerangka acuan $K$ dan waktu $t' \in \mathbb{R}$ menurut kerangka acuan $K'$ adalah
\[ dt' = \Gamma(dt - d\vec{r}\cdot\vec{V}/c^2) \]
di mana $\vec{r} \in \mathbb{R}^3$ adalah posisi titik $P$ menurut $K$, $\vec{V} \in \mathbb{R}^3$ adalah kecepatan $K'$ menurut $K$, $\Gamma := [1 - (|\vec{V}|/c)^2]^{-1/2}$, dan $c$ adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa. Kaitan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk lain, yaitu
\[ dt' = \Gamma dt(1 - \vec{v}\cdot\vec{V}/c^2) \]
di mana $\vec{v} := d\vec{r}/dt$ adalah kecepatan $P$ menurut $K$. Apabila $\vec{v}$ dan $\vec{V}$ konstan, maka kaitan terakhir dapat diintegralkan menjadi
\[ t' - t'_0 = \Gamma(t - t_0)(1 - \vec{v}\cdot\vec{V}/c^2) \]
di mana $t'_0, t_0 \in \mathbb{R}$ adalah tetapan waktu awal. Apabila $t' - t'_0 = T'$ adalah periode gelombang cahaya menurut $K'$, dan $t - t_0 = T$ adalah periode gelombang cahaya menurut $K$, serta $\vec{v} := c\vec{V}/|\vec{V}|$ adalah kecepatan $P$ yang dianggap sebagai partikel cahaya dalam ruang hampa, maka diperoleh
\[ T' = T\frac{1 - V/c}{\sqrt{1 - (V/c)^2}} \]
di mana $V \in \mathbb{R}$ adalah kecepatan 1-dimensi $K'$ menurut $K$ sedemikian $\vec{V} = V\hat{V}$ dengan $\hat{V} := \vec{V}/|\vec{V}|$. Karena frekuensi gelombang cahaya menurut $K$ adalah $\nu := 1/T$, dan frekuensi gelombang cahaya menurut $K'$ adalah $\nu' := 1/T'$, maka
\[ \nu' = \nu\frac{\sqrt{1 - (V/c)^2}}{1 - V/c} \]
alias
\[ \nu' = \nu\frac{\sqrt{1 + V/c}\sqrt{1 - V/c}}{\sqrt{1 - V/c}\sqrt{1 - V/c}} \]
alias
\[ \nu' = \nu\sqrt{\frac{1 + V/c}{1 - V/c}} = \nu\sqrt{\frac{c + V}{c - V}}. \]
Kaitan terakhir ini merupakan efek Doppler untuk cahaya, di mana $V$ merupakan kecepatan relatif pengamat terhadap sumber cahaya. Besaran $V$ bertanda positif apabila pengamat dan sumber cahaya bergerak relatif saling mendekati, dan bertanda negatif apabila pengamat dan sumber cahaya bergerak relatif saling menjauhi.
15
« pada: Juli 10, 2022, 04:43:00 PM »
\section{Transformasi Kosinus dalam Relativitas Khusus}
Secara relativistik, kecepatan titik $P$ menurut kerangka acuan $K'$ adalah $\vec{v}' \in \mathbb{R}^3$ sedemikian
\[ \vec{v}' = \frac{\vec{v} + (\Gamma - 1)\vec{v}\cdot\hat{V}\hat{V} - \Gamma\vec{V}}{\Gamma(1 - \vec{v}\cdot\vec{V}/c^2)} \]
di mana $\vec{v} \in \mathbb{R}^3$ adalah kecepatan $P$ menurut kerangka acuan $K$, $\vec{V} \in \mathbb{R}^3$ adalah kecepatan $K'$ menurut $K$, $\Gamma := [1 - (|\vec{V}|/c)^2]^{-1/2}$ adalah faktor Lorentz, $\hat{V} := \vec{V}/|\vec{V}|$ adalah vektor satuan yang searah dengan $\vec{V}$, dan $c$ adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa. Kuadrat magnitudo dari $\vec{v}'$ adalah $v'^2 = [v^2 + (\Gamma^2 - 2\Gamma + 1)(\vec{v}\cdot\hat{V})^2$ $+ \Gamma^2V^2 + 2(\Gamma - 1)(\vec{v}\cdot\hat{V})^2$ $- 2\Gamma V\vec{v}\cdot\hat{V}$ $- 2\Gamma(\Gamma - 1)V\vec{v}\cdot\hat{V}]/[\Gamma^2(1$ $- \vec{v}\cdot\vec{V}/c^2)^2]$ di mana $v' := |\vec{v}'|$, $v := |\vec{v}|$, dan $V := |\vec{V}|$. Selanjutnya,
\[ v'^2 = \frac{v^2 + (\Gamma^2 - 1)v^2\chi^2 + \Gamma^2V^2 - 2\Gamma^2v\chi V}{\Gamma^2(1 - v\chi V/c^2)^2} \]
di mana $\chi := \cos\theta := \hat{v}\cdot\hat{V}$ dan $\hat{v} := \vec{v}/v$. Selanjutnya,
\[ v'^2 = \frac{v^2(1 - V^2/c^2) + (V^2/c^2)v^2\chi^2 + V^2 - 2v\chi V}{(1 - v\chi V/c^2)^2}. \]
Arah $\vec{v}'$ yang searah dengan $\vec{V}$ adalah
\[ \vec{v}'\cdot\hat{V} = v'\chi' = \frac{v\chi - V}{1 - v\chi V/c^2} \]
di mana $\chi' := \cos\theta' := \hat{v}'\cdot\hat{V}$ dan $\hat{v}' := \vec{v}'/v'$. Selanjutnya,
\[ \frac{1}{\chi'} = v'\frac{1 - v\chi V/c^2}{v\chi - V} \]
yang dikuadratkan kedua ruasnya menjadi
\[ \frac{1}{\chi'^2} = v'^2\frac{(1 - v\chi V/c^2)^2}{(v\chi - V)^2} \]
sehingga diperoleh
\[ \frac{1}{\chi'^2} = \frac{v^2(1 - V^2/c^2) + (V^2/c^2)v^2\chi^2 + V^2 - 2v\chi V}{(v\chi - V)^2} \]
alias
\[ \frac{1}{\chi'^2} = 1 + \frac{v^2(1 - V^2/c^2) + (V^2/c^2)v^2\chi^2 - v^2\chi^2}{(v\chi - V)^2} \]
alias
\[ \frac{1}{\chi'^2} = 1 + \frac{v^2(1 - \chi^2)}{\Gamma^2(v\chi - V)^2}. \]
Kaitan terakhir merupakan transformasi kosinus sudut arah gerak objek $P$ menurut $K$ menjadi menurut $K'$ terhadap $\vec{V}$. Tampak dalam kaitan terakhir, $\chi'$ dapat bernilai positif maupun negatif. Lantas, mana yang dipakai? Solusinya adalah sebagai berikut. Mula-mula, kita masukkan $\theta' = 90^\circ$ sebagai batas ke-positif-an dan ke-negatif-an nilai $\chi'$, sehingga praktis $\chi' = 0$ yang mengharuskan $v\chi - V = 0$ yang mengakibatkan
\[ \chi' = \sqrt{\chi'^2}\operatorname{sgn}(v\chi - V). \]
Tentu saja, $\theta' = \arccos\chi'$.
|
Show Posts