Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh.
\section{Gerak Melingkar di $\mathbb{R}^2$}
Misalkan ada sebuah partikel yang bergerak melingkar di $\mathbb{R}^2$ dengan posisi
\[ \vec{r} = l(\hat{x}\sin\theta - \hat{y}\cos\theta) \]
di mana $l$ adalah jari-jari lintasan gerak melingkar yang konstan, $\hat{x} := (1, 0)$, $\hat{y} := (0, 1)$, dan $\theta \in \mathbb{R}$ adalah sudut putar yang bergantung pada waktu $t \in \mathbb{R}$. Tentu saja, kecepatan partikel tersebut adalah
\[ \vec{v} = \dot{\vec{r}} = l\dot{\theta}(\hat{x}\cos\theta + \hat{y}\sin\theta) \]
dan percepatan partikel tersebut adalah
\[ \vec{a} := \dot{\vec{v}} = l\ddot{\theta}(\hat{x}\cos\theta + \hat{y}\sin\theta) + l\dot{\theta}^2(-\hat{x}\sin\theta + \hat{y}\cos\theta) \]
\[ = l[\hat{x}(\ddot{\theta}\cos\theta - \dot{\theta}^2\sin\theta) + \hat{y}(\ddot{\theta}\sin\theta + \dot{\theta}^2\cos\theta)]. \]
Di sini didefinisikan $\dot{Q} := dQ/dt$ dan $\ddot{Q} := d\dot{Q}/dt$ untuk sebarang besaran $Q$.
Vektor satuan yang searah $\vec{v}$ adalah
\[ \hat{v} := \vec{v}/|\vec{v}| = \hat{x}\cos\theta + \hat{y}\sin\theta. \]
Kuadrat besar percepatannya adalah
\[ |\vec{a}|^2 = l^2[(\ddot{\theta}^2\cos^2\theta + \dot{\theta}^4\sin^2\theta - 2\ddot{\theta}\dot{\theta}^2\cos\theta\sin\theta) + (\ddot{\theta}^2\sin^2\theta + \dot{\theta}^4\cos^2\theta + 2\ddot{\theta}\dot{\theta}^2\sin\theta\cos\theta)] \]
\[ = l^2(\ddot{\theta}^2 + \dot{\theta}^4). \]
Percepatan tangensialnya adalah
\[ \vec{a}_{//} := \vec{a}\cdot\hat{v}\hat{v} \]
sedangkan percepatan sentripetalnya adalah
\[ \vec{a}_\bot := \vec{a} - \vec{a}_{//}. \]
Tentu saja,
\[ \vec{a}\cdot\hat{v} = l[(\ddot{\theta}\cos\theta - \dot{\theta}^2\sin\theta)\cos\theta + (\ddot{\theta}\sin\theta + \dot{\theta}^2\cos\theta)\sin\theta] \]
sehingga
\[ (\vec{a}\cdot\hat{v})^2 = l^2[(\ddot{\theta}^2\cos^2\theta + \dot{\theta}^4\sin^2\theta - 2\ddot{\theta}\dot{\theta}^2\cos\theta\sin\theta)\cos^2\theta \]
\[ + (\ddot{\theta}^2\sin^2\theta + \ddot{\theta}^2\cos^2\theta + 2\ddot{\theta}\dot{\theta}^2\sin\theta\cos\theta)\sin^2\theta \]
\[ + 2(\ddot{\theta}^2\cos\theta\sin\theta + \ddot{\theta}\dot{\theta}^2\cos^2\theta - \ddot{\theta}\dot{\theta}^2\sin^2\theta - \dot{\theta}^4\sin\theta\cos\theta)\cos\theta\sin\theta] \]
\[ = l^2[\ddot{\theta}^2(1 - 2\sin^2\theta + \sin^4\theta) + \ddot{\theta}^2\sin^4\theta + 2\ddot{\theta}^2\sin^2\theta(1 - \sin^2\theta)] = l^2\ddot{\theta}^2 \]
alias
\[ |\vec{a}_{//}| = l|\ddot{\theta}| = |\alpha|R \]
di mana $\alpha := \ddot{\theta}$ adalah percepatan sudutnya dan $R := l$. Selanjutnya,
\[ |\vec{a}_\bot|^2 = |\vec{a}|^2 - |\vec{a}_{//}|^2 = l^2\dot{\theta}^4 \]
alias
\[ |\vec{a}_\bot| = l|\dot{\theta}|^2 = \omega^2R \]
di mana $\omega := \dot{\theta}$.
Allahu Akbar.
