Ahlan wa Sahlan.
\section{Efek Doppler untuk Cahaya}
Kaitan antara waktu $t \in \mathbb{R}$ menurut kerangka acuan $K$ dan waktu $t' \in \mathbb{R}$ menurut kerangka acuan $K'$ adalah
\[ dt' = \Gamma(dt - d\vec{r}\cdot\vec{V}/c^2) \]
di mana $\vec{r} \in \mathbb{R}^3$ adalah posisi titik $P$ menurut $K$, $\vec{V} \in \mathbb{R}^3$ adalah kecepatan $K'$ menurut $K$, $\Gamma := [1 - (|\vec{V}|/c)^2]^{-1/2}$, dan $c$ adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa. Kaitan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk lain, yaitu
\[ dt' = \Gamma dt(1 - \vec{v}\cdot\vec{V}/c^2) \]
di mana $\vec{v} := d\vec{r}/dt$ adalah kecepatan $P$ menurut $K$. Apabila $\vec{v}$ dan $\vec{V}$ konstan, maka kaitan terakhir dapat diintegralkan menjadi
\[ t' - t'_0 = \Gamma(t - t_0)(1 - \vec{v}\cdot\vec{V}/c^2) \]
di mana $t'_0, t_0 \in \mathbb{R}$ adalah tetapan waktu awal. Apabila $t' - t'_0 = T'$ adalah periode gelombang cahaya menurut $K'$, dan $t - t_0 = T$ adalah periode gelombang cahaya menurut $K$, serta $\vec{v} := c\vec{V}/|\vec{V}|$ adalah kecepatan $P$ yang dianggap sebagai partikel cahaya dalam ruang hampa, maka diperoleh
\[ T' = T\frac{1 - V/c}{\sqrt{1 - (V/c)^2}} \]
di mana $V \in \mathbb{R}$ adalah kecepatan 1-dimensi $K'$ menurut $K$ sedemikian $\vec{V} = V\hat{V}$ dengan $\hat{V} := \vec{V}/|\vec{V}|$. Karena frekuensi gelombang cahaya menurut $K$ adalah $\nu := 1/T$, dan frekuensi gelombang cahaya menurut $K'$ adalah $\nu' := 1/T'$, maka
\[ \nu' = \nu\frac{\sqrt{1 - (V/c)^2}}{1 - V/c} \]
alias
\[ \nu' = \nu\frac{\sqrt{1 + V/c}\sqrt{1 - V/c}}{\sqrt{1 - V/c}\sqrt{1 - V/c}} \]
alias
\[ \nu' = \nu\sqrt{\frac{1 + V/c}{1 - V/c}} = \nu\sqrt{\frac{c + V}{c - V}}. \]
Kaitan terakhir ini merupakan efek Doppler untuk cahaya, di mana $V$ merupakan kecepatan relatif pengamat terhadap sumber cahaya. Besaran $V$ bertanda positif apabila pengamat dan sumber cahaya bergerak relatif saling mendekati, dan bertanda negatif apabila pengamat dan sumber cahaya bergerak relatif saling menjauhi.
Dalam Nama Bapa dan Putera dan Roh Kudus. Amin.