Messages

1

Agama / Bisakah Seorang Muslim Menjadi Freemason?

« pada: Mei 20, 2022, 09:45:46 AM »

Pertama-tama, kami ingin mencatat bahwa seorang Muslim harus menunjukkan kesetiaan hanya kepada Allah, Pencipta dan Pelindung Tunggalnya. Prioritas pertamanya haruslah agamanya dan kepentingan imannya, karena hanya iman itulah yang membuat hidupnya lebih cerah. Seorang Muslim tidak boleh berafiliasi dengan organisasi mana pun yang bekerja untuk menghancurkan agamanya; melainkan, ia harus menganggap Al-Qur'an dan Sunnah Nabi (damai dan berkah besertanya) sebagai sumber perilakunya. Tidak ada hal lain yang lebih layak dipercaya selain keduanya. Allah SWT berfirman: “Hai orang-orang yang beriman, taatilah Allah dan Rasul ketika Dia memanggil kamu untuk apa yang menghidupkan kamu, dan ketahuilah bahwa Allah datang di antara manusia dan hatinya sendiri, dan bahwa Dialah yang kepada-Nya kamu akan dikumpulkan. .” (Al-Anfal: 24) Menjawab pertanyaan tersebut, cendekiawan Muslim terkemuka Sheikh Ahmad Kutty, Dosen Senior dan Cendekiawan Islam di Institut Islam Toronto, Ontario, Kanada, menjawab: “Sejauh yang saya tahu, Freemasonry adalah sebuah organisasi rahasia yang keyakinan dan praktiknya benar-benar dijaga kerahasiaannya kecuali dari mereka yang diinisiasi ke dalamnya. Mereka memiliki tingkat rahasia yang tidak diungkapkan kepada mereka yang berada di tingkat yang lebih rendah. Seorang Muslim tidak boleh menjadi mangsa atau memberikan kesetiaan kepada sesuatu yang tidak dapat diteliti dengan kriteria tegas Al-Qur'an dan Sunnah. Siapapun yang bergabung dengan Freemasonry seperti orang yang menulis cek kosong; dengan demikian dia setuju untuk memberikan kesetiaan secara membabi buta kepada otoritas untuk memenuhi keinginan mereka tidak peduli apa pun itu. Tidak ada seorang Muslim pun yang dapat menyerahkan kehendaknya tanpa syarat kepada siapapun selain Allah. Jika ada yang melakukannya, dia bersalah atas pelanggaran yang paling mencolok yaitu syirik (menyekutukan Allah). Allah berfirman: “Apakah mereka mempunyai sekutu-sekutu selain Allah yang akan meresepkan bagi mereka ritual-ritual yang tidak dihalalkan Allah.” (Ash-Shura: 21)” Menggali inti Freemasonry dan sifatnya, kami juga ingin mengutip yang berikut: “Masyarakat Freemason adalah organisasi rahasia dengan tujuan yang tidak pernah diumumkan secara resmi di depan umum. Itu menyelimuti dirinya dengan tirai kerahasiaan yang tebal sampai-sampai setiap rekrutan baru memberikan sumpah yang paling khusyuk untuk tidak mengungkapkan rahasianya. Dia dibuat sepenuhnya sadar bahwa dia mengungkapkan rahasia-rahasia ini yang membahayakan hidupnya. Masuk ke masyarakat tidak terbuka untuk semua orang. Faktanya, Society of Freemason merekrut anggotanya setelah mempelajari karakter dan posisi mereka dengan cermat. Ia juga berusaha keras untuk mendaftar dalam keanggotaannya raja, presiden, menteri, politisi terkemuka dan orang-orang yang sangat berpengaruh. Orang-orang seperti itu diberikan keanggotaan kehormatan yang membuat mereka tetap berada di pinggiran masyarakat, yang berarti bahwa mereka tidak ikut ambil bagian dalam pengambilan keputusannya dan mereka tidak membiarkan rahasianya. Hanya mereka yang siap bekerja dengan dedikasi untuk tujuan masyarakat yang mengetahui rahasia ini. Ini juga, setelah mereka lulus ujian tertentu dan dipromosikan dari satu derajat ke derajat lain dalam hierarki masyarakat. Apa yang menarik orang untuk bergabung dengan Freemasonry adalah jaminan saling tolong-menolong yang para anggotanya janjikan untuk mereka berikan saat bergabung. Seorang Freemason diharapkan memberikan dukungan tanpa batas kepada anggota masyarakat lainnya. Anggota memiliki tanda-tanda tertentu yang dengannya mereka mengenal satu sama lain, seperti cara mereka berjabat tangan dengan orang lain dan penambahan tertentu dalam tanda tangan mereka pada surat, dll. Di negara-negara di mana Freemasonry sudah mapan, ini bisa sangat menguntungkan bagi anggota yang menunjukkan dedikasi untuk tujuan. Sejumlah orang telah menulis tentang tujuan rahasia Society of Freemason. Ini sebagian besar adalah mantan anggota yang meninggalkan masyarakat setelah menemukan bahwa mereka tidak dapat menyesuaikan diri dengan maksud dan tujuannya. Sebagian besar kasus ini terjadi di negara-negara di mana masyarakatnya tidak dapat mempromosikan dirinya dengan baik, yang pada gilirannya membatasi keanggotaannya. Ini memaksanya untuk mempromosikan anggota tertentu ke derajat yang lebih tinggi, yang memungkinkan mereka mengetahui lebih banyak rahasia masyarakat. Melalui orang-orang seperti itu kita tahu bahwa masyarakat memiliki hierarki yang sangat ketat yang membuat anggota tetap pada tingkat yang rendah sampai mereka lulus ujian kesetiaan dan dedikasi yang sangat berat. Kita juga tahu bahwa masyarakat melayani tujuan Yahudi dunia dan mendapatkan namanya dari tujuan khusus itu. Seorang “tukang batu” adalah seorang pembangun, dan Perhimpunan Freemason bertujuan untuk membangun kembali Kuil Sulaiman di Yerusalem setelah menghancurkan Masjid Al-Aqsa karena orang-orang Yahudi menuduh bahwa masjid tersebut telah dibangun di lokasi kuil yang dihancurkan. Segala sesuatu yang memajukan kepentingan orang-orang Yahudi dan mempromosikan posisi mereka di dunia dilakukan oleh masyarakat. Penutup kerahasiaan mutlak dan hierarkinya yang ketat memungkinkannya memanfaatkan posisi dan pengaruh anggota non-Yahudinya untuk melayani tujuan Yahudi. Kita harus memahami bahwa banyak anggotanya bekerja untuk masyarakat yang percaya bahwa mereka hanya melayani tujuan kebebasan, kesetaraan dan keadilan.  Mereka tetap tidak menyadari bahwa mereka hanya melayani tujuan memberi orang Yahudi supremasi dalam urusan dunia. Freemasonry selama bertahun-tahun mendapatkan sejumlah musuh, terutama Gereja Katolik. Mengingat semua ini, tidak ada keraguan bahwa jika seorang Muslim bergabung dengan Perhimpunan Freemason, ia bertentangan dengan ajaran Islam. Tujuan, kebijakan, dan praktik masyarakat ini bertentangan dengan prinsip-prinsip Islam dan melanggar hukumnya. Misalnya, Islam percaya dalam menjaga keadilan di antara semua orang, tanpa memandang ras, warna kulit, keluarga, posisi atau keyakinan. Seorang muslim harus berlaku adil kepada semua orang. Islam melarang pilih kasih, nepotisme dan diskriminasi atas dasar apapun. Freemason mendukung satu sama lain atas dasar keanggotaan masyarakat mereka. Islam menghormati agama lain. Freemasonry menipu para anggotanya dengan berpikir bahwa mereka memajukan tujuan kemanusiaan yang lebih baik ketika mereka sebenarnya memajukan kepentingan orang-orang yang berusaha memberikan supremasi kepada orang-orang Yahudi atas semua bangsa di dunia. Islam adalah pesan terakhir dari Allah kepada manusia. Ini adalah agama yang menggantikan semua pesan ilahi masa lalu, termasuk Yudaisme. Freemasonry berupaya menghancurkan Masjid Al-Aqsha guna membangun kembali Kuil Sulaiman di tempatnya. Bagaimana bisa seorang Muslim, kemudian, bergabung dengan masyarakat seperti itu? Islam percaya pada metode terbuka dan menyatakan tujuan dan memerintahkan pengikutnya untuk selalu jujur ??dan mengikuti jalan yang lurus. Freemasonry menyelubungi dirinya dalam kerahasiaan untuk menutupi praktik-praktik jahatnya. Jika tujuannya benar-benar untuk mempromosikan kemanusiaan yang lebih baik, itu akan terbuka dan menyatakan tujuan dan kebijakannya. Hanya kejahatan yang menyembunyikan dirinya sendiri karena ingin menyembunyikan sifat menjijikkannya.”

Baca Selengkapnya di islamonline :
https://fiqh.islamonline.net/en/can-a-muslim-be-a-freemason/

2

Matematika Fisika Teori / Ortonormalisasi Gram-Schmidt

« pada: Juni 26, 2020, 06:21:00 PM »

\section{Ortonormalisasi Gram-Schmidt}

Andaikan ada sebuah ruang vektor $\mathcal{H}$ di atas lapangan $\mathbb{C}$.  Andaikan ada seperangkat vektor $B_n := \{ \psi_1, \cdots, \psi_n \} \subset \mathcal{H}$ yang bebas linier.  Ortonormalisasi Gram-Schmidt dari $B_n$ menghasilkan seperangkat vektor $O_n := \{ \varphi_1, \cdots, \varphi_n \} \subset \mathcal{H}$ yang ortonormal.  Andaikan didefinisikan sebuah produk skalar $\left<\alpha|\beta\right> \in \mathbb{C}$ untuk semua $\alpha, \beta \in \mathcal{H}$.  Andaikan pula didefinisikan sebuah norma $\|\alpha\| := \sqrt{\left<\alpha|\alpha\right>} \in \mathbb{C}$ untuk semua $\alpha \in \mathcal{H}$.

Mula-mula, $\varphi_1 := \psi_1/\|\psi_1\|$.

Selanjutnya,
\[ \varphi_j := \frac{1}{N_j}\left(\psi_j - \sum_{k = 1}^{j - 1} \left<\varphi_k|\psi_j\right>\varphi_k\right) \]
di mana
\[ N_j := \left\|\psi_j - \sum_{k = 1}^{j - 1} \left<\varphi_k|\psi_j\right>\varphi_k\right\| \]
untuk setiap $j \in \{ 2, \cdots, n \}$.

Ternyata, $\left<\varphi_j|\varphi_l\right> = \delta_{jl}$ untuk setiap $j, l \in \{ 1, \cdots, n \}$.

Pembuktian hal ini secara umum sangat rumit, mengingat terdapat ungkapan rekursif.  Namun, kita akan membuktikan kasus khusus untuk $n = 3$.

Tentu jelas bahwa $\left<\varphi_j|\varphi_j\right> = \|\varphi_j\|^2 = N_j^2/N_j^2 = 1$ untuk semua $j \in \{ 1, 2, 3 \}$.

Sekarang, kita tinggal membuktikan bahwa $\left<\varphi_1|\varphi_2\right> = \left<\varphi_1|\varphi_3\right> = \left<\varphi_2|\varphi_3\right> = 0$.

Mula-mula kita tulis secara eksplisit bahwa
\[ \varphi_2 = \frac{1}{N_2}\left(\psi_2 - \left<\varphi_1|\psi_2\right>\varphi_1\right) \]
dan
\[ \varphi_3 = \frac{1}{N_3}\left(\psi_3 - \left<\varphi_1|\psi_3\right>\varphi_1 - \left<\varphi_2|\psi_3\right>\varphi_2\right). \]

\[ \left<\varphi_1|\varphi_2\right> = \frac{1}{N_2}\left(\left<\varphi_1|\psi_2\right> - \left<\varphi_1|\psi_2\right>\left<\varphi_1|\varphi_1\right>\right) = 0. \]

\[ \left<\varphi_1|\varphi_3\right> = \frac{1}{N_3}\left(\left<\varphi_1|\psi_3\right> - \left<\varphi_1|\psi_3\right>\left<\varphi_1|\varphi_1\right> - \left<\varphi_2|\psi_3\right>\left<\varphi_1|\varphi_2\right>\right) = 0. \]

\[ \left<\varphi_2|\varphi_3\right> = \frac{1}{N_2N_3}\left(\left<\psi_2|\psi_3\right> - \left<\varphi_1|\psi_3\right>\left<\psi_2|\varphi_1\right>\right. \]
\[ - \left<\varphi_2|\psi_3\right>\left<\psi_2|\varphi_2\right> - \left<\psi_2|\varphi_1\right>\left<\varphi_1|\psi_3\right> \]
\[ \left.+ \left<\psi_2|\varphi_1\right>\left<\varphi_1|\psi_3\right> \right) \]
\[ = \frac{1}{N_2N_3}\left(\left<\psi_2|\psi_3\right> - \left<\varphi_1|\psi_3\right>\left<\psi_2|\varphi_1\right>\right. \]
\[ - \frac{1}{N_2^2}\left(\left<\psi_2|\psi_3\right> - \left<\psi_2|\varphi_1\right>\left<\varphi_1|\psi_3\right>\right) \]
\[ \left.\left(\|\psi_2\|^2 - \left<\varphi_1|\psi_2\right>\left<\psi_2|\varphi_1\right>\right)\right). \]
Karena $N_2^2 = \|\psi_2\|^2 - |\left<\varphi_1|\psi_2\right>|^2$, maka
\[ \left<\varphi_2|\varphi_3\right> = \frac{1}{N_2N_3}\left(\left<\psi_2|\psi_3\right> - \left<\psi_2|\psi_3\right> - \left<\psi_2|\varphi_1\right>\left<\varphi_1|\psi_3\right> \right. \]
\[ \left.+ \left<\psi_2|\varphi_1\right>\left<\varphi_1|\psi_3\right>\right) = 0. \]

3

Matematika Fisika Teori / Gabungan dan Irisan dari Objek-Objek Geometris

« pada: Juni 23, 2020, 09:38:33 PM »

\section{Gabungan dan Irisan dari Objek-Objek Geometris}

Andaikan ada sebuah titik $P(\vec{r}) := \{ \vec{r} \}$ di mana $\vec{r} \in \mathbb{R}^3$.

Andaikan ada sebuah kurva $C(f, g) := \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ f(\vec{r}) = g(\vec{r}) = 0 \}$ di mana $f, g \,:\, \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ adalah dua buah pemetaan kontinyu.

Andaikan ada sebuah permukaan $S(f) := \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ f(\vec{r}) = 0 \}$ di mana $f \,:\, \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ adalah sebuah pemetaan kontinyu.

Andaikan ada sebuah volume $V(f) := \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ f(\vec{r}) < 0 \}$ di mana $f \,:\, \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ adalah sebuah pemetaan kontinyu.

Andaikan fungsi $p \,:\, \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ didefinisikan sebagai $p(x) = 1$ untuk $x = 0$ dan $p(x) = 0$ untuk $x \neq 0$.

Andaikan fungsi $p^{(3)} \,:\, \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ didefinisikan sebagai $p^{(3)}(\vec{r}) = 1$ untuk $\vec{r} = \vec{0}$ dan $p^{(3)}(\vec{r}) = 0$ untuk $\vec{r} \neq \vec{0}$.

Andaikan fungsi $u \,:\, \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ di definisikan sebagai $u(x) = 1$ untuk $x > 0$, $u(x) = 1/2$ untuk $x = 0$, dan $u(x) = 0$ untuk $x < 0$.

Berikut ini adalah beberapa teorema mengenai gabungan dan irisan dari objek-objek geometris tersebut.

\[ P(\vec{a})\cap P(\vec{b}) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ p^{(3)}(\vec{r} - \vec{a})p^{(3)}(\vec{r} - \vec{b}) = 1 \}. \]
\[ P(\vec{a})\cup P(\vec{b}) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ (1 - p^{(3)}(\vec{r} - \vec{a}))(1 - p^{(3)}(\vec{r} - \vec{b})) = 0 \}. \]

\[ P(\vec{a})\cap C(f, g) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ p^{(3)}(\vec{r} - \vec{a})p(f(\vec{r}))p(g(\vec{r})) = 1 \}. \]
\[ P(\vec{a})\cup C(f, g) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ (1 - p^{(3)}(\vec{r} - \vec{a}))(1 - p(f(\vec{r}))p(g(\vec{r}))) = 0 \}. \]

\[ P(\vec{a})\cap S(f) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ p^{(3)}(\vec{r} - \vec{a})p(f(\vec{r})) = 1 \}. \]
\[ P(\vec{a})\cup S(f) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ (1 - p^{(3)}(\vec{r} - \vec{a}))(1 - p(f(\vec{r}))) = 0 \}. \]

\[ P(\vec{a})\cap V(f) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ p^{(3)}(\vec{r} - \vec{a})u(-f(\vec{r})) = 1 \}. \]
\[ P(\vec{a})\cup V(f) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ (1 - p^{(3)}(\vec{r} - \vec{a}))(1 - u(-f(\vec{r}))) = 0 \}. \]

\[ C(f, g)\cap C(h, k) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ p(f(\vec{r}))p(g(\vec{r}))p(h(\vec{r}))p(k(\vec{r})) = 1 \}. \]
\[ C(f, g)\cup C(h, k) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ (1 - p(f(\vec{r}))p(g(\vec{r})))(1 - p(h(\vec{r}))p(k(\vec{r}))) = 0 \}. \]

\[ C(f, g)\cap S(h) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ p(f(\vec{r}))p(g(\vec{r}))p(h(\vec{r})) = 1 \}. \]
\[ C(f, g)\cup S(h) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ (1 - p(f(\vec{r}))p(g(\vec{r})))(1 - p(h(\vec{r}))) = 0 \}. \]

\[ C(f, g)\cap V(h) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ p(f(\vec{r}))p(g(\vec{r}))u(-h(\vec{r})) = 1 \}. \]
\[ C(f, g)\cup V(h) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ (1 - p(f(\vec{r}))p(g(\vec{r})))(1 - u(-h(\vec{r}))) = 0 \}. \]

\[ S(f)\cap S(g) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ p(f(\vec{r}))p(g(\vec{r})) = 1 \}. \]
\[ S(f)\cup S(g) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ (1 - p(f(\vec{r})))(1 - p(g(\vec{r}))) = 0 \}. \]

\[ S(f)\cap V(g) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ p(f(\vec{r}))u(-g(\vec{r})) = 1 \}. \]
\[ S(f)\cup V(g) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ (1 - p(f(\vec{r})))(1 - u(-g(\vec{r}))) = 0 \}. \]

\[ V(f)\cap V(g) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ u(-f(\vec{r}))u(-g(\vec{r})) = 1 \}. \]
\[ V(f)\cup V(g) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ (1 - u(-f(\vec{r})))(1 - u(-g(\vec{r}))) = 0 \}. \]

4

Fisika Matematik / Bayangan Titik akibat Pencerminan oleh Cermin Berbentuk Permukaan Bola

« pada: Juni 22, 2020, 05:34:52 PM »

\section{Bayangan Titik akibat Pencerminan oleh Cermin Berbentuk Permukaan Bola}

Andaikan di ruang $\mathbb{R}^3$, ada sebuah cermin berbentuk permukaan bola, yaitu
\[ S^2(\vec{r}_0, R) := \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ |\vec{r} - \vec{r}_0| = R \} \]
di mana $\vec{r}_0 \in \mathbb{R}^3$ adalah pusat dari $S^2(\vec{r}_0, R)$, serta $R \in \mathbb{R}^+$ adalah jari-jari dari $S^2(\vec{r}_0, R)$.

Selanjutnya, titik $\vec{r} \in \mathbb{R}^3$ akan dicerminkan oleh $S^2(\vec{r}_0, R)$, sehingga menghasilkan dua buah bayangan, yaitu $\vec{r}'_1, \vec{r}'_2 \in \mathbb{R}^3$.
\[ \vec{r}'_1 = \vec{r}_0 + (R + s'_1)\frac{\vec{r} - \vec{r}_0}{|\vec{r} - \vec{r}_0|}. \]
\[ s'_1 := \frac{s_1f_1}{s_1 - f_1}, ~~~~~ s_1 := |\vec{r} - \vec{r}_0| - R, ~~~~~ f_1 := -\frac{1}{2}R. \]
\[ \vec{r}'_1 = \vec{r}_0 + \left(R + \frac{s_1f_1}{s_1 - f_1}\right)\frac{\vec{r} - \vec{r}_0}{|\vec{r} - \vec{r}_0|}. \]
\[ \vec{r}'_1 = \vec{r}_0 + \left(R + \frac{(|\vec{r} - \vec{r}_0| - R)(-R/2)}{|\vec{r} - \vec{r}_0| - R/2}\right)\frac{\vec{r} - \vec{r}_0}{|\vec{r} - \vec{r}_0|}. \]
\[ \vec{r}'_2 = \vec{r}_0 + (R - s'_2)\frac{\vec{r}_0 - \vec{r}}{|\vec{r}_0 - \vec{r}|}. \]
\[ \vec{r}'_2 = \vec{r}_0 + (s'_2 - R)\frac{\vec{r} - \vec{r}_0}{|\vec{r} - \vec{r}_0|}. \]
\[ s'_2 := \frac{s_2f_2}{s_2 - f_2}, ~~~~~ s_2 := |\vec{r} - \vec{r}_0| + R, ~~~~~ f_2 := \frac{1}{2}R. \]
\[ \vec{r}'_2 = \vec{r}_0 + \left(\frac{s_2f_2}{s_2 - f_2} - R\right)\frac{\vec{r} - \vec{r}_0}{|\vec{r} - \vec{r}_0|}. \]
\[ \vec{r}'_2 = \vec{r}_0 + \left(\frac{(|\vec{r} - \vec{r}_0| + R)R/2}{|\vec{r} - \vec{r}_0| + R/2} - R\right)\frac{\vec{r} - \vec{r}_0}{|\vec{r} - \vec{r}_0|}. \]
\[ \vec{r}'_1 = \vec{r}_0 + \frac{R(|\vec{r} - \vec{r}_0| - R/2) + (|\vec{r} - \vec{r}_0| - R)(-R/2)}{|\vec{r} - \vec{r}_0| - R/2}\frac{\vec{r} - \vec{r}_0}{|\vec{r} - \vec{r}_0|}. \]
\[ \vec{r}'_1 = \vec{r}_0 + \frac{R|\vec{r} - \vec{r}_0|/2}{|\vec{r} - \vec{r}_0| - R/2}\frac{\vec{r} - \vec{r}_0}{|\vec{r} - \vec{r}_0|}. \]
\[ \vec{r}'_1 = \vec{r}_0 + R\frac{\vec{r} - \vec{r}_0}{2|\vec{r} - \vec{r}_0| - R}. \]
\[ \vec{r}'_2 = \vec{r}_0 + \frac{(|\vec{r} - \vec{r}_0| + R)R/2 - R(|\vec{r} - \vec{r}_0| + R/2)}{|\vec{r} - \vec{r}_0| + R/2}\frac{\vec{r} - \vec{r}_0}{|\vec{r} - \vec{r}_0|}. \]
\[ \vec{r}'_2 = \vec{r}_0 + \frac{(-R/2)|\vec{r} - \vec{r}_0|}{|\vec{r} - \vec{r}_0| + R/2}\frac{\vec{r} - \vec{r}_0}{|\vec{r} - \vec{r}_0|}. \]
\[ \vec{r}'_2 = \vec{r}_0 - R\frac{\vec{r} - \vec{r}_0}{2|\vec{r} - \vec{r}_0| + R}. \]

Jadi, bayangan dari titik $\vec{r}$ akibat pencerminan oleh cermin berbentuk permukaan bola $S^2(\vec{r}_0, R)$ adalah
\[ \vec{r}' = \vec{r}'_\pm = \vec{r}_0 \pm R\frac{\vec{r} - \vec{r}_0}{2|\vec{r} - \vec{r}_0| \mp R}. \]
Bayangannya ada dua, yaitu $\vec{r}'_+$ dan $\vec{r}'_-$.

5

Matematika Fisika Teori / Lintasan Bayangan Titik akibat Pencerminan oleh Garis Lurus yang Berputar

« pada: Juni 21, 2020, 08:53:46 PM »

\section{Lintasan Bayangan Titik akibat Pencerminan oleh Garis Lurus yang Berputar}

Sebuah titik $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ yang dicerminkan secara aktif oleh sebuah garis lurus $L(\alpha) := \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 ~|~ y = x\tan\alpha \}$, di mana $\alpha \in \mathbb{R}$ akan mengalami transformasi ke titik $(x', y') \in \mathbb{R}^2$ sedemikian
\[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos2\alpha & \sin2\alpha \\ \sin2\alpha & -\cos2\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \]
sehingga
\[ x' = x\cos2\alpha + y\sin2\alpha, \]
\[ y' = -y\cos2\alpha + x\sin2\alpha. \]
Apabila garis $L(\alpha)$ tersebut diputar dengan sumbu putar melalui titik $(0, 0)$ dan tegak lurus bidang $\mathbb{R}^2$, maka bayangan titik $(x', y')$ tersebut juga akan bergerak.  Untuk mengetahui bentuk lintasan geraknya, kita dapat mengeliminasi $\alpha$ dari kedua persamaan terakhir tersebut.  Ternyata, kita peroleh
\[ x'^2 + y'^2 = x^2 + y^2 \]
yang dinyatakan oleh notasi pembentuk himpunan menjadi
\[ P(x, y) := \{ (x', y') \in \mathbb{R}^2 ~|~ x'^2 + y'^2 = x^2 + y^2 \}. \]
Ternyata, $P(x, y)$ berbentuk lingkaran dengan jari-jari $R := \sqrt{x^2 + y^2}$ dan pusat $(0, 0)$.

6

Matematika Fisika Teori / Rank dari Pemetaan Licin

« pada: Juni 19, 2020, 02:32:26 PM »

\section{Teorema Rank Konstan}

Anggaplah $f \,:\, N \to M$ adalah pemetaan licin dari manifold dan kita ingin menunjukkan bahwa himpunan tingkat $f^{-1}(c)$ merupakan manifold untuk sebagian $c \in M$.  Untuk menerapkan teorema himpunan tingkat reguler, kita membutuhkan diferensial $f_*$ untuk memperoleh rank maksimal pada setiap titik dari $f^{-1}(c)$.  Kadang-kadang ini tidak benar; bahkan jika benar, maka sulit untuk menunjukkannya.  Dalam kasus seperti ini, teorema himpunan tingkat rank konstan dapat sangat menolong.  Ia memiliki satu kardinal: tidak perlu untuk mengetahui secara teliti rank dari $f$; cukuplah rank menjadi konstan.

Teorema rank konstan untuk ruang Euclidean memiliki analog untuk manifold.

7

Matematika Fisika Teori / Re:Kategori dan Fungtor

« pada: Juni 18, 2020, 06:13:29 PM »

\section{Fungtor Jodoh dan Fungtor Multi-Kovektor}

Andaikan $V$ adalah ruang vektor riil.  Sebut bahwa ruang jodohnya $V^\vee$ adalah ruang vektor dari semua fungsional linier pada $V$, yaitu fungsi linier $a \,:\, V \to R$.  Kita juga menuliskan
\[V^\vee = \operatorname{Hom}(V, \mathbb{R}). \]
Jika $V$ adalah ruang vektor berdimensi terhingga dengan basis $\{ e_1, \cdots, e_n \}$, maka ruang jodohnya $V^\vee$ memiliki basis yang merupakan koleksi dari fungsional linier $\{ \alpha^1, \cdots, \alpha^n \}$ yang didefinisikan oleh
\[ \alpha^i(e_j) = {\delta^i}_j ~~~~~ \text{dengan $1 \leq i, j \leq n$}. \]
Mengingat fungsi linier pada $V$ ditentukan oleh apa yang dikerjakan pada basis dari $V$, maka himpunan persamaan ini mendefinisikan $\alpha^i$ secara tunggal.

Pemetaan linier $L \,:\, V \to W$ dari ruang vektor menginduksi pemetaan linier $L^\vee$, yang disebut sebagai jodoh dari $L$, sebagai berikut.  Untuk setiap fungsional linier $\alpha \,:\, W \to \mathbb{R}$, pemetaan jodoh $L^\vee$ menghubungkan fungsional linier
\[ V \overset{L}{\to} W \overset{\alpha}{\to} \mathbb{R}. \]
Jadi, pemetaan jodoh $L^\vee \,:\, W^\vee \to V^\vee$ diberikan oleh
\[ L^\vee(\alpha) = \alpha\circ L ~~~~~ \text{untuk $\alpha \in W^\vee$}. \]
Perlu dicatat bahwa jodoh dari $L$ membalik arah panah tersebut.

Proposisi 10.5 (Sifat Fungsional dari Jodoh).

Anggaplah $V$, $W$, dan $S$ merupakan ruang vektor riil.

(i) Jika $1_V \,:\, V \to V$ adalah pemetaan identitas pada $V$, maka $1^\vee_V \,:\, V^\vee \to V^\vee$ adalah pemetaan identitas pada $V^\vee$.

(ii) Jika $f \,:\, V \to W$ dan $g \,:\, W \to S$ adalah pemetaan linier, maka $(g\circ f)^\vee = f^\vee\circ g^\vee$.

Berdasarkan proposisi ini, bangunan jodoh $\mathcal{F} \,:\, (~) \to (~)^\vee$ merupakan fungtor kontravarian dari kategori ruang vektor ke dirinya sendiri, yaitu bahwa untuk $V$ sebuah ruang vektor riil,
$\mathcal{F}(V) = V^\vee$ dan untuk $f \in \operatorname{Hom}(V, W)$, $\mathcal{F}(f) = f^\vee \in \operatorname{Hom}(W^\vee, V^\vee)$. Konsekuensinya, jika $f \,:\, V \to W$ adalah isomorfisme, maka jodohnya juga $f^\vee \,:\, W^\vee \to V^\vee$.

Tetapkanlah bilangan bulat positif $k$.  Untuk sebarang pemetaan linier $L \,:\, V \to W$ dari ruang vektor, definisikanlah pemetaan tarikan balik $L^* \,:\, A_k(W) \to A_k(V)$ sebagai
\[ (L^*f)(v_1, \cdots, v_k) = f(L(v_1), \cdots, L(v_k)) \]
untuk $f \in A_k(W)$ dan $v_1, \cdots, v_k \in V$.  Dari definisi tersebut, mudah dilihat bahwa $L^*$ adalah pemetaan linier, yaitu bahwa $L^*(af + bg) = aL^*f + bL^*g$ untuk $a, b \in \mathbb{R}$ dan $f, g \in A_k(W)$.

Proposisi 10.6.

Tarikan balik dari kovektor oleh pemetaan linier memenuhi dua sifat fungsional.

(i) Jika $1_V \,:\, V \to V$ adalah pemetaan identitas dari $V$, maka $1^*_V = 1_{A_k(V)}$, yang merupakan pemetaan identitas pada $A_k(V)$.

(ii) Jika $K \,:\, U \to V$ dan $L \,:\, V \to W$ adalah pemetaan linier dari ruang vektor, maka
\[ (L\circ K)^* = K^*\circ L^* \,:\, A_k(W) \to A_k(U). \]

8

Matematika Fisika Teori / Re:Kategori dan Fungtor

« pada: Juni 18, 2020, 04:27:00 PM »

\section{Fungtor}

Definisi 10.2.

Fungtor kovarian $\mathcal{F}$ dari sebuah kategori $\mathcal{C}$ ke kategori yang lain $\mathcal{D}$ merupakan pemetaan yang menghubungkan setiap objek $A$ di $\mathcal{C}$, sebuah objek $\mathcal{F}(A)$ di $\mathcal{D}$, dan ke setiap morfisme $f \,:\, A \to B$, morfisme $\mathcal{F}(f) \,:\, \mathcal{F}(A) \to \mathcal{F}(B)$ sedemikian rupa sehingga

(i) $\mathcal{F}(1_A) = 1_{\mathcal{F}(A)}$,

(ii) $\mathcal{F}(f\circ g) = \mathcal{F}(f)\circ\mathcal{F}(g)$.

Proposisi 10.3.

Andaikan $\mathcal{F} \,:\, \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ adalah fungtor dari kategori $\mathcal{C}$ ke kategori $\mathcal{D}$.
Jika $f \,:\, A \to B$ adalah isomorfisme di $\mathcal{C}$, maka $\mathcal{F}(f) \,:\, \mathcal{F}(A) \to \mathcal{F}(B)$ adalah isomorfisme di $\mathcal{D}$.

Jika dalam definisi fungtor kovarian, kita membalik arah dari panah
untuk morfisme $\mathcal{F}(f)$, maka kita menentukan fungtor kontravarian.  Lebih jelasnya, definisinya adalah sebagai berikut.

Definisi 10.4.

Fungtor kontravarian $\mathcal{F}$ dari kategori $\mathcal{C}$ ke kategori yang lain $\mathcal{D}$ merupakan pemetaan yang menghubungkan setiap objek $A$ di $\mathcal{C}$, sebuah objek $\mathcal{F}(A)$ di $\mathcal{D}$, dan setiap morfisme $f \,:\, A \to B$, sebuah morfisme $\mathcal{F}(f) \,:\, \mathcal{F}(B) \to \mathcal{F}(A)$ sedemikian rupa sehingga

(i) $\mathcal{F}(1_A) = 1_{\mathcal{F}(A)}$;

(ii) $\mathcal{F}(f\circ g) = \mathcal{F}(g)\circ\mathcal{F}(f)$.

9

Matematika Fisika Teori / Kategori dan Fungtor

« pada: Juni 18, 2020, 03:57:45 PM »

\section{Kategori}

Sebuah kategori terdiri dari koleksi anggota, yang disebut objek, dan untuk sebarang dua buah objek $A$ dan $B$, himpunan $\operatorname{Mor}(A, B)$ dari anggotanya, disebut morfisme dari $A$ ke $B$, sedemikian rupa sehingga apabila diberikan sebarang morfisme $f \in \operatorname{Mor}(A, B)$ dan sebarang morfisme $g \in \operatorname{Mor}(B, C)$, maka kompositnya, yaitu $g\circ f \in \operatorname{Mor}(A, C)$ didefinisikan.  Lebih lanjut lagi, komposisi dari morfisme dikehendaki memenuhi dua sifat, yaitu

(i) aksioma identitas: untuk setiap objek $A$, terdapat morfisme identitas $1_A \in \operatorname{Mor}(A, A)$ sedemikian rupa sehingga untuk sebarang $f \in \operatorname{Mor}(A, B)$ dan $g \in \operatorname{Mor}(B, A)$, maka
\[ f\circ 1_A = f ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ 1_A\circ g = g; \]

(ii) aksioma asosiatif: untuk $f \in \operatorname{Mor}(A, B)$, $g \in \operatorname{Mor}(B, C)$, dan $h \in \operatorname{Mor}(C, D)$, maka
\[ h\circ(g\circ f) = (h\circ g)\circ f. \]

Definisi 10.1.

Dua buah objek $A$ dan $B$ dalam sebuah kategori dikatakan isomorfis jika terdapat morfisme $f \,:\, A \to B$ dan $g \,:\, B \to A$ sedemikian rupa sehingga
\[ g\circ f = 1_A ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ f\circ g = 1_B. \]
Dalam hal ini, $f$ dan $g$ disebut isomorfisme.

Notasi biasa untuk isomorfisme adalah "\approxeq".  Jadi, $A \approxeq B$ dapat berarti, misalnya isomorfisme grup, isomorfisme ruang vektor, homeomorfisme, atau difeomorfisme, yang bergantung pada kategori dan konteksnya.

10

Pemrograman Komputer / Menentukan Kurva Pelukis dalam Teknik Menggambar Perspektif

« pada: Juni 16, 2020, 10:33:18 PM »

\section{Menentukan Kurva Pelukis dalam Teknik Menggambar Perspektif}

Andaikan di ruang $\mathbb{R}^3$ ada sebuah permukaan
\[ S(\varphi) := \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ \varphi(\vec{r}) = 0 \} \]
di mana $\varphi \,:\, \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ adalah sebarang pemetaan.  Andaikan pula, $\vec{r} := (x, y, z) \in S(\varphi)$.  Dalam teknik menggambar perspektif secara matematis, tentu ada sebuah bidang gambar, misalnya
\[ P(X) := \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ x = X \} \]
di mana $X \in \mathbb{R}$, serta sebuah titik tinjau, yaitu $\vec{r}_0 := (x_0, y_0, z_0) \in \mathbb{R}^3$.

Kurva pelukis dari $S(\varphi)$ didefinisikan secara intuitif sebagai
\[ R(\varphi, \vec{r}_0) := \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ (\vec{r} - \vec{r}_0)\cdot\nabla\varphi(\vec{r}) = 0 \}. \]

Sebagai contoh, kita akan menentukan kurva pelukis dari sebuah permukaan bola, yaitu
\[ S^2(R) := \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ x^2 + y^2 + z^2 = R^2 \} \]
dengan $R \in \mathbb{R}^+$ adalah jari-jari $S^2(R)$.  Karena $S^2(R)$ dianggap sebagai $S(\varphi)$, maka kita peroleh
\[ \varphi(\vec{r}) = x^2 + y^2 + z^2 - R^2. \]
Tentu saja,
\[ \nabla\varphi(\vec{r}) = 2(x\hat{x} + y\hat{y} + z\hat{z}) \]
di mana $\hat{x} := (1, 0, 0)$, $\hat{y} := (0, 1, 0)$, dan $\hat{z} := (0, 0, 1)$.

Dari persamaan $(\vec{r} - \vec{r}_0)\cdot\nabla\varphi(\vec{r}) = 0$, kita peroleh
\[ x(x - x_0) + y(y - y_0) + z(z - z_0) = 0 \]
alias
\[ x(x - x_0) + y(y - y_0) = z(z_0 - z). \]
Kita akan melakukan parameterisasi $R(\varphi, \vec{r}_0)$ dengan parameter $l \in \mathbb{R}\cup(i\mathbb{R})$ dan $\alpha \in \{0\}\cup(0, 2\pi)$.  Oleh karena itu,
\[ z(z_0 - z) = l^2, \]
\[ x(x - x_0) = l^2\cos^2\alpha, \]
\[ y(y - y_0) = l^2\sin^2\alpha. \]
Dari sini, kita peroleh
\[ z^2 - z_0z + l^2 = 0, \]
\[ x^2 - x_0x - l^2\cos^2\alpha = 0, \]
\[ y^2 - y_0y - l^2\sin^2\alpha = 0, \]
sehingga dari rumus abc, kita peroleh
\[ z = \frac{1}{2}\left(z_0 \pm \sqrt{z_0^2 - 4l^2}\right), \]
\[ x = \frac{1}{2}\left(x_0 \pm \sqrt{x_0^2 + 4l^2\cos^2\alpha}\right), \]
\[ y = \frac{1}{2}\left(y_0 \pm \sqrt{y_0^2 + 4l^2\sin^2\alpha}\right). \]
Kemudian, hasil-hasil ini kita masukkan ke persamaan $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$, sehingga kita peroleh kaitan antara $l$ dan $\alpha$, yaitu $l \mapsto \alpha$, lalu kita memperoleh sebuah kurva pelukis yang kita inginkan, yaitu $(x_{l, \alpha}(l_\alpha(\alpha), \alpha), y_{l, \alpha}(l_\alpha(\alpha), \alpha), z_{l, \alpha}(l_\alpha(\alpha), \alpha))$.

11

Matematika Fisika Teori / Re:Submanifold

« pada: Juni 16, 2020, 08:30:26 PM »

\section{Teorema Himpunan Tingkat Reguler}

Langkah selanjutnya adalah memperluas Teorema 9.8 menjadi himpunan tingkat reguler dari pemetaan antar-manifold licin.  Teorema yang sangat berguna ini rupa-rupanya tidak memiliki nama yang disepakati dalam literatur.  Ia diketahui sebagai teorema fungsi implisit, teorema pra-bayangan, dan teorema himpunan tingkat reguler, di antara istilah-istilah lain.

Teorema 9.9 (Teorema Himpunan Tingkat Reguler).

Andaikan $F \,:\, N \to M$ adalah pemetaan licin dari manifold, dengan $\dim N = n$ dan $\dim M = m$.  Lantas, himpunan tingkat reguler tak kosong $F^{-1}(c)$, di mana $c \in M$, merupakan submanifold reguler dari $N$ dengan dimensi sama dengan $n - m$.

Bukti.

Pilihlah peta $(V, \psi) = (V, y^1, \cdots, y^m)$ dari $M$ yang berpusat di $c$, yaitu sedemikian rupa sehingga $\psi(c) = 0$ di $\mathbb{R}^m$.  Lantas, $F^{?1}(V)$ adalah himpunan terbuka di $N$ yang memuat $F^{?1}(c)$.  Lebih lanjut lagi, di $F^{?1}(V)$, $F^{?1}(c) = (\psi\circ F)^{?1}(0)$.  Jadi, himpunan tingkat $F^{?1}(c)$ merupakan himpunan nol dari $\psi\circ F$.  Jika $F^i = y^i\circ F = r^i\circ(\psi\circ F)$, maka $F^{?1}(c)$ juga merupakan himpunan nol biasa dari fungsi-fungsi $F^1, \cdots, F^m$ pada $F^{?1}(V)$.

Karena himpunan tingkat reguler dianggap tidak kosong, maka $n \geq m$ (Pernyataan 9.5).  Tetapkanlah sebuah titik $p \in F^{-1}(c)$ dan andaikan $(U, \phi) = (U, x^1, \cdots, x^n)$ tetangga koordinat dari
$p$ di $N$ yang termuat dalam $F^{?1}(V)$.  Mengingat $F^{?1}(c)$ adalah himpunan tingkat reguler, maka $p \in F^{-1}(c)$ adalah titik reguler dari $F$.  Oleh karena itu, matriks Jacobian $m\times n$ $[(\partial F^i/\partial x^j)(p)]$ memiliki rank $m$.  Dengan menomori kembali $F^i$ dan $x^j$, kita boleh menganggap bahwa blok $m\times m$ pertama, yaitu $[(\partial F^i/\partial x^j)(p)]_{1 \leq i, j \leq m}$ tak singgular.

Gantikanlah $m$ buah koordinat pertama, yaitu $x^1, \cdots, x^m$ dari peta $(U, \phi)$ dengan $F^1, \cdots, F^m$.  Kita mengklaim bahwa terdapat tetangga $U_p$ dari $p$ sedemikian rupa sehingga $(U_p, F^1, \cdots, F^m, x^{m+1}, \cdots, x^n)$ merupakan peta dalam atlas dari $N$.  Cukuplah untuk meghitung matriks Jacobian-nya di $p$, yaitu
\[ \begin{pmatrix} \partial F^i/\partial x^j & \partial F^i/\partial x^\beta \\ \partial x^\alpha/\partial x^\beta & \partial x^\alpha/\partial x^\beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \partial F^i/\partial x^j & \partial F^i/\partial x^\beta \\ 0 & {\delta^\alpha}_\beta \end{pmatrix}, \]
di mana $1 \leq i, j \leq m$ dan $m + 1 \leq \alpha, \beta \leq n$.  Mengingat matriks ini memiliki determinan
\[ \det\left[\frac{\partial F^i}{\partial x^j}(p)\right]_{1 \leq i, j \leq m} \neq 0, \]
maka teorema fungsi invers mengakibatkan klaim tersebut.

Pada peta $(U_p, F^1, \cdots, F^m, x^{m + 1}, \cdots, x^n)$, himpunan $S := f^{?1}(c)$ ditentukan dengan menyeting $m$ buah fungsi koordinat pertama, yaitu $F^1, \cdots, F^m$ sama dengan $0$.  Jadi,  $(U_p, F^1, \cdots, F^m, x^{m + 1}, \cdots, x^n)$ merupakan peta adapsi untuk $N$ relatif terhadap $S$.  Mengingat ini benar di sekitar setiap titik $p \in S$, maka $S$ merupakan submanifold reguler dari $N$ yang berdimensi $n - m$.

12

Matematika Fisika Teori / Re:Submanifold

« pada: Juni 16, 2020, 07:26:54 PM »

Teorema 9.8.

Andaikan $g \,:\, N \to \mathbb{R}$ adalah fungsi licin pada manifold $N$.  Lantas, himpunan tingkat regular tak kosong $S = g^{-1}(c)$ adalah submanifold regular dari $N$ dengan kodimensi $1$.

Bukti.

Andaikan $f = g - c$.  Dengan lema terdahulu, $S$ sama dengan $f^{-1}(0)$ dan merupakan himpunan tingkat regular dari $f$.  Andaikan $p \in S$.  Mengingat $p$ adalah titik reguler dari $f$, relatif terhadap sebarang peta $(U, x^1, \cdots, x^n)$ di sekitar $p$, maka $(\partial f/\partial x^i)(p) \neq 0$ untuk sebagian $i$.  Dengan menomori kembali $x^1, \cdots, x^n$, kita boleh menganggap bahwa $(\partial f/\partial x^1) \neq 0$.

Matriks Jacobian dari pemetaan licin $(f, x^2, \cdots, x^n) \,:\, U \to \mathbb{R}^n$ adalah
\[ \begin{pmatrix} \partial f/\partial x^1 & \partial f/\partial x^2 & \cdots & \partial f/\partial x^n \\ \partial x^2/\partial x^1 & \partial x^2/\partial x^2 & \cdots & \partial x^2/\partial x^n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \partial x^n/\partial x^1 & \partial x^n/\partial x^2 & \cdots & \partial x^n/\partial x^n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \partial f/\partial x^1 & \partial f/\partial x^2 & \cdots & \partial f/\partial x^n \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}. \]

Jadi, determinan Jacobian $\partial(f, x^2, \cdots, x^n)/\partial(x^1, \cdots, x^n)$ di $p$ adalah $(\partial f/\partial x^1)(p) \neq 0$.  Dengan teorema fungsi invers, terdapat tetangga $U_p$ dari $p$ yang mana $f , x^2, \cdots, x^n$ membentuk sistem koordinat.  Relatif terhadap peta $(U_p, f, x^2, \cdots, x^n)$, himpunan tingkat $U_p\cap S$ didefinisikan dengan mengatur koordinat pertama $f$ agar sama dengan $0$, sehingga $(U_p, f, x^2, \cdots, x^n)$ merupakan peta adapsi relatif terhadap $S$.  Mengingat $p$ sebarang, maka $S$ merupakan submanifold reguler berdimensi $n - 1$ di $N$.

13

Matematika Fisika Teori / Re:Submanifold

« pada: Juni 16, 2020, 05:42:18 PM »

\section{Himpunan Tingkat dari sebuah Fungsi}

Himpunan tingkat dari pemetaan $F \,:\, N \to M$ merupakan himpunan bagian
\[ F^{-1}(\{ c \}) = \{ p \in N ~|~ F(p) = c \} \]
untuk sebagian $c \in M$.  Notasi biasa untuk himpunan tingkat adalah $F^{-1}(c)$, alih-alih yang lebih benar, yaitu $F^{-1}(\{ c \})$.  Nilai $c \in M$ disebut tingkat dari himpunan tingkat $F^{-1}(c)$.  Apabila $F \,:\, N \to \mathbb{R}^m$, maka $Z(F) := F^{?1}(0)$ merupakan himpunan nol dari $F$.  Sebutlah bahwa $c$ merupakan nilai reguler dari $F$ jika dan hanya jika $c$ tidak berada di dalam bayangan dari $F$ maupun pada setiap titik $p \in F^{-1}(c)$, diferensial $F_{*, p} \,:\, T_pN \to T_{F(p)}M$ surjektif.  Bayangan balik $F^{-1}(c)$ dari nilai reguler $c$ disebut himpunan tingkat reguler.  Jika himpunan nol $F^{-1}(0)$ merupakan himpunan tingkat reguler dari $F \,:\, N \to \mathbb{R}^m$, maka ia disebut himpunan nol reguler.

Pernyataan 9.5.

Jika himpunan tingkat reguler $F^{?1}(c)$ tidak kosong, katakanlah $p \in F^{-1}(c)$, maka pemetaan $F \,:\, N \to M$ merupakan submersi pada $p$.  Oleh karena itu, $\dim N \geq \dim M$.

Lema 9.7.

Andaikan $g \,:\, N \to \mathbb{R}$ adalah fungsi licin.  Himpunan tingkat reguler $g^{-1}(c)$ dari tingkat $c$ dari fungsi $g$ merupakan himpunan nol reguler $f^{-1}(0)$ dari fungsi $f = g ? c$.

Bukti.

Untuk sebarang $p \in N$,
\[ g(p) = c \Leftrightarrow f(p) = g(p) - c = 0. \]
Dari sini, $g^{-1}(c) = f^{-1}(0)$.  Sebutlah himpunan $S$ ini.  Karena diferensial $f_{*, p}$ sama dengan $g_{*, p}$ pada setiap titik $p \in N$, maka fungsi $f$ dan $g$ secara eksak memiliki titik-titik kritis yang sama.  Mengingat $g$ tidak memiliki titik kritis di $S$, maka $f$ juga tidak.

14

Matematika Fisika Teori / Re:Submanifold

« pada: Juni 16, 2020, 04:58:18 PM »

Proposisi 9.4.

Andaikan $S$ merupakan submanifold reguler dari $N$ dan $\mathcal{U} = \{ (U, \phi) \}$ merupakan koleksi dari peta adapsi kompatibel dari $N$ yang meliput $S$.  Lantas, $\{ (U\cap S, \phi_S) \}$ merupakan atlas untuk $S$.  Oleh karena itu, submanifold reguler manifold itu sendiri.  Jika $N$ berdimensi $n$ dan $S$ secara lokal didefinisikan dengan cara menghilangkan $n - k$ buah koordinat, maka $\dim S = k$.

Bukti.

Andaikan $(U, \phi) = (U, x^1, \cdots, x^n)$ dan $(V, \psi) = (V, y^1, \cdots, y^n)$ adalah dua buah peta adapsi dalam koleksi yang diberikan.  Anggaplah bahwa $U$ dan $V$ beririsan.  Sebagaimana kita perhatikan dalam Definisi 9.1, dalam sebarang peta adapsi relatif terhadap submanifold $S$, maka maka mungkin untuk menomori koordinat agar $n - k$ buah koordinat terakhir lenyap pada titik-titik dari $S$.

Lantas untuk $p \in U\cap V\cap S$, berlaku
\[ \phi(p) = (x^1, \cdots, x^k, 0, \cdots, 0) ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ \psi(p) = (y^1, \cdots, y^k, 0, \cdots, 0), \]
sehingga
\[ \phi_S(p) = (x^1, \cdots, x^k) ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ \psi_S(p) = (y^1, \cdots, y^k). \]
Oleh karena itu,
\[ (\psi_S\circ\phi_S^{-1})(x^1, \cdots, x^k) = (y^1, \cdots, y^k) \]
Mengingat $y^1, \cdots, y^k$ merupakan fungsi licin dari $x^1, \cdots, x^k$ (karena $\psi\circ\phi^{-1}$ licin), maka fungsi transisi $\psi_S\circ\phi_S^{-1}$ juga licin.  Secara serupa, mengingat $x^1, \cdots, x^k$ merupakan fungsi licin dari $y^1, \cdots, y^k$, maka $\psi_S\circ\phi_S^{-1}$ juga licin.  Dari sini, sebarang dua buah peta dalam $\{ (U\cap S, \phi_S) \}$ bersifat kompatibel dan licin.  Mengingat $\{ U\cap S \}_{U \in \mathcal{U}}$ meliput $S$, maka koleksi $\{ (U\cap S, \phi_S) \}$ merupakan atlas licin pada $S$.

15

Matematika Fisika Teori / Re:Submanifold

« pada: Juni 16, 2020, 04:57:49 PM »

Contoh

Dalam definisi dari manifold reguler, dimensi $k$ dari submanifold tersebut boleh sama dengan $n$, yang merupakan dimensi dari manifold tersebut.  Dalam hal ini, $U\cap S$ didefinisikan dengan melenyapkan tak satu pun fungsi koordinat dan sehingga $U\cap S = U$.  Oleh karena itu, sebuah himpunan bagian terbuka dari sebuah manifold merupakan submanifold reguler yang berdimensi sama.

Perhatian.  Ada jenis lain dari submanifold, namun kecuali jika dikhususkan yang lain, dengan "submanifold", kita akan selalu mengartikan "submanifold reguler".

Contoh

Interval $S := (-1, 1)$ pada sumbu-$x$ merupakan submanifold reguler dari bidang-$xy$.  Sebagai sebuah peta adapsi, kita boleh mengambil bujur sangkar terbuka $(-1, 1)\times(-1, 1)$ dengan koordinat $x, y$. Lantas, $U\cap S$ mendekati himpunan nol dari $y$ pada $U$.

Perlu dicatat bahwa jika $V = (-2, 0)\times(-1, 1)$, maka $(V, x, y)$ bukanlah peta adapsi relatif terhadap $S$, mengingat $V\cap S$ merupakan interval terbuka $(-1, 0)$ pada sumbu-$x$, sementara himpunan nol dari $y$ pada $V$ merupakan interval terbuka $(-2, 0)$ pada sumbu-$x$.