Shalom aleichem.
\section{Gabungan dan Irisan dari Objek-Objek Geometris}
Andaikan ada sebuah titik $P(\vec{r}) := \{ \vec{r} \}$ di mana $\vec{r} \in \mathbb{R}^3$.
Andaikan ada sebuah kurva $C(f, g) := \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ f(\vec{r}) = g(\vec{r}) = 0 \}$ di mana $f, g \,:\, \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ adalah dua buah pemetaan kontinyu.
Andaikan ada sebuah permukaan $S(f) := \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ f(\vec{r}) = 0 \}$ di mana $f \,:\, \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ adalah sebuah pemetaan kontinyu.
Andaikan ada sebuah volume $V(f) := \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ f(\vec{r}) < 0 \}$ di mana $f \,:\, \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ adalah sebuah pemetaan kontinyu.
Andaikan fungsi $p \,:\, \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ didefinisikan sebagai $p(x) = 1$ untuk $x = 0$ dan $p(x) = 0$ untuk $x \neq 0$.
Andaikan fungsi $p^{(3)} \,:\, \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ didefinisikan sebagai $p^{(3)}(\vec{r}) = 1$ untuk $\vec{r} = \vec{0}$ dan $p^{(3)}(\vec{r}) = 0$ untuk $\vec{r} \neq \vec{0}$.
Andaikan fungsi $u \,:\, \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ di definisikan sebagai $u(x) = 1$ untuk $x > 0$, $u(x) = 1/2$ untuk $x = 0$, dan $u(x) = 0$ untuk $x < 0$.
Berikut ini adalah beberapa teorema mengenai gabungan dan irisan dari objek-objek geometris tersebut.
\[ P(\vec{a})\cap P(\vec{b}) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ p^{(3)}(\vec{r} - \vec{a})p^{(3)}(\vec{r} - \vec{b}) = 1 \}. \]
\[ P(\vec{a})\cup P(\vec{b}) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ (1 - p^{(3)}(\vec{r} - \vec{a}))(1 - p^{(3)}(\vec{r} - \vec{b})) = 0 \}. \]
\[ P(\vec{a})\cap C(f, g) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ p^{(3)}(\vec{r} - \vec{a})p(f(\vec{r}))p(g(\vec{r})) = 1 \}. \]
\[ P(\vec{a})\cup C(f, g) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ (1 - p^{(3)}(\vec{r} - \vec{a}))(1 - p(f(\vec{r}))p(g(\vec{r}))) = 0 \}. \]
\[ P(\vec{a})\cap S(f) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ p^{(3)}(\vec{r} - \vec{a})p(f(\vec{r})) = 1 \}. \]
\[ P(\vec{a})\cup S(f) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ (1 - p^{(3)}(\vec{r} - \vec{a}))(1 - p(f(\vec{r}))) = 0 \}. \]
\[ P(\vec{a})\cap V(f) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ p^{(3)}(\vec{r} - \vec{a})u(-f(\vec{r})) = 1 \}. \]
\[ P(\vec{a})\cup V(f) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ (1 - p^{(3)}(\vec{r} - \vec{a}))(1 - u(-f(\vec{r}))) = 0 \}. \]
\[ C(f, g)\cap C(h, k) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ p(f(\vec{r}))p(g(\vec{r}))p(h(\vec{r}))p(k(\vec{r})) = 1 \}. \]
\[ C(f, g)\cup C(h, k) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ (1 - p(f(\vec{r}))p(g(\vec{r})))(1 - p(h(\vec{r}))p(k(\vec{r}))) = 0 \}. \]
\[ C(f, g)\cap S(h) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ p(f(\vec{r}))p(g(\vec{r}))p(h(\vec{r})) = 1 \}. \]
\[ C(f, g)\cup S(h) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ (1 - p(f(\vec{r}))p(g(\vec{r})))(1 - p(h(\vec{r}))) = 0 \}. \]
\[ C(f, g)\cap V(h) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ p(f(\vec{r}))p(g(\vec{r}))u(-h(\vec{r})) = 1 \}. \]
\[ C(f, g)\cup V(h) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ (1 - p(f(\vec{r}))p(g(\vec{r})))(1 - u(-h(\vec{r}))) = 0 \}. \]
\[ S(f)\cap S(g) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ p(f(\vec{r}))p(g(\vec{r})) = 1 \}. \]
\[ S(f)\cup S(g) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ (1 - p(f(\vec{r})))(1 - p(g(\vec{r}))) = 0 \}. \]
\[ S(f)\cap V(g) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ p(f(\vec{r}))u(-g(\vec{r})) = 1 \}. \]
\[ S(f)\cup V(g) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ (1 - p(f(\vec{r})))(1 - u(-g(\vec{r}))) = 0 \}. \]
\[ V(f)\cap V(g) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ u(-f(\vec{r}))u(-g(\vec{r})) = 1 \}. \]
\[ V(f)\cup V(g) = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ (1 - u(-f(\vec{r})))(1 - u(-g(\vec{r}))) = 0 \}. \]
Syukur kepada Allah.
