Bismillahirrahmanirrahim.
\section{Teorema Himpunan Tingkat Reguler}
Langkah selanjutnya adalah memperluas Teorema 9.8 menjadi himpunan tingkat reguler dari pemetaan antar-manifold licin. Teorema yang sangat berguna ini rupa-rupanya tidak memiliki nama yang disepakati dalam literatur. Ia diketahui sebagai teorema fungsi implisit, teorema pra-bayangan, dan teorema himpunan tingkat reguler, di antara istilah-istilah lain.
Teorema 9.9 (Teorema Himpunan Tingkat Reguler).
Andaikan $F \,:\, N \to M$ adalah pemetaan licin dari manifold, dengan $\dim N = n$ dan $\dim M = m$. Lantas, himpunan tingkat reguler tak kosong $F^{-1}(c)$, di mana $c \in M$, merupakan submanifold reguler dari $N$ dengan dimensi sama dengan $n - m$.
Bukti.
Pilihlah peta $(V, \psi) = (V, y^1, \cdots, y^m)$ dari $M$ yang berpusat di $c$, yaitu sedemikian rupa sehingga $\psi(c) = 0$ di $\mathbb{R}^m$. Lantas, $F^{?1}(V)$ adalah himpunan terbuka di $N$ yang memuat $F^{?1}(c)$. Lebih lanjut lagi, di $F^{?1}(V)$, $F^{?1}(c) = (\psi\circ F)^{?1}(0)$. Jadi, himpunan tingkat $F^{?1}(c)$ merupakan himpunan nol dari $\psi\circ F$. Jika $F^i = y^i\circ F = r^i\circ(\psi\circ F)$, maka $F^{?1}(c)$ juga merupakan himpunan nol biasa dari fungsi-fungsi $F^1, \cdots, F^m$ pada $F^{?1}(V)$.
Karena himpunan tingkat reguler dianggap tidak kosong, maka $n \geq m$ (Pernyataan 9.5). Tetapkanlah sebuah titik $p \in F^{-1}(c)$ dan andaikan $(U, \phi) = (U, x^1, \cdots, x^n)$ tetangga koordinat dari
$p$ di $N$ yang termuat dalam $F^{?1}(V)$. Mengingat $F^{?1}(c)$ adalah himpunan tingkat reguler, maka $p \in F^{-1}(c)$ adalah titik reguler dari $F$. Oleh karena itu, matriks Jacobian $m\times n$ $[(\partial F^i/\partial x^j)(p)]$ memiliki rank $m$. Dengan menomori kembali $F^i$ dan $x^j$, kita boleh menganggap bahwa blok $m\times m$ pertama, yaitu $[(\partial F^i/\partial x^j)(p)]_{1 \leq i, j \leq m}$ tak singgular.
Gantikanlah $m$ buah koordinat pertama, yaitu $x^1, \cdots, x^m$ dari peta $(U, \phi)$ dengan $F^1, \cdots, F^m$. Kita mengklaim bahwa terdapat tetangga $U_p$ dari $p$ sedemikian rupa sehingga $(U_p, F^1, \cdots, F^m, x^{m+1}, \cdots, x^n)$ merupakan peta dalam atlas dari $N$. Cukuplah untuk meghitung matriks Jacobian-nya di $p$, yaitu
\[ \begin{pmatrix} \partial F^i/\partial x^j & \partial F^i/\partial x^\beta \\ \partial x^\alpha/\partial x^\beta & \partial x^\alpha/\partial x^\beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \partial F^i/\partial x^j & \partial F^i/\partial x^\beta \\ 0 & {\delta^\alpha}_\beta \end{pmatrix}, \]
di mana $1 \leq i, j \leq m$ dan $m + 1 \leq \alpha, \beta \leq n$. Mengingat matriks ini memiliki determinan
\[ \det\left[\frac{\partial F^i}{\partial x^j}(p)\right]_{1 \leq i, j \leq m} \neq 0, \]
maka teorema fungsi invers mengakibatkan klaim tersebut.
Pada peta $(U_p, F^1, \cdots, F^m, x^{m + 1}, \cdots, x^n)$, himpunan $S := f^{?1}(c)$ ditentukan dengan menyeting $m$ buah fungsi koordinat pertama, yaitu $F^1, \cdots, F^m$ sama dengan $0$. Jadi, $(U_p, F^1, \cdots, F^m, x^{m + 1}, \cdots, x^n)$ merupakan peta adapsi untuk $N$ relatif terhadap $S$. Mengingat ini benar di sekitar setiap titik $p \in S$, maka $S$ merupakan submanifold reguler dari $N$ yang berdimensi $n - m$.
Nderek langkung.
