Sanctus, Sanctus, Dominus Deus Sabaoth.
\section{Perkalian antara Dua Buah Skalar Semu}
Andaikan $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}, \vec{D}, \vec{E}, \vec{F} \in \mathbb{R}^n$ adalah enam buah vektor.
Ada teorema yang menyatakan bahwa
\[ [\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}]\vec{D} = (\vec{A}\cdot\vec{D})(\vec{B}\times\vec{C}) + (\vec{B}\cdot\vec{D})(\vec{C}\times\vec{A}) + (\vec{C}\cdot\vec{D})(\vec{A}\times\vec{B}) \]
di mana didefinisikan $[\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}] := (\vec{A}\times\vec{B})\cdot\vec{C}$.
Dengan mengalititikkan kedua ruas persamaan terakhir dengan $\vec{E}\times\vec{F}$, maka diperoleh
\[ [\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}][\vec{D}, \vec{E}, \vec{F}] = (\vec{A}\cdot\vec{D})[(\vec{B}\cdot\vec{E})(\vec{C}\cdot\vec{F}) - (\vec{B}\cdot\vec{F})(\vec{C}\cdot\vec{E})] + (\vec{B}\cdot\vec{D})[(\vec{C}\cdot\vec{E})(\vec{A}\cdot\vec{F}) - (\vec{C}\cdot\vec{F})(\vec{A}\cdot\vec{E})] + (\vec{C}\cdot\vec{D})[(\vec{A}\cdot\vec{E})(\vec{B}\cdot\vec{F}) - (\vec{A}\cdot\vec{F})(\vec{B}\cdot\vec{E})]. \]
Andaikan ada sebuah basis ortonormal, yaitu $\{ \hat{x}_1, \cdots, \hat{x}_n \}$, di mana
\[ \hat{x}_j := (\underset{n}{\underbrace{0, \cdots, 0, \overset{j}{1}, 0, \cdots, 0}}), \]
untuk setiap $j \in \{ 1, \cdots, n \}$, maka
\[ [\hat{x}_i, \hat{x}_j, \hat{x}_k][\hat{x}_l, \hat{x}_m, \hat{x}_p] = \delta_{il}[\delta_{jm}\delta_{kp} - \delta_{jp}\delta_{km}] + \delta_{jl}[\delta_{km}\delta_{ip} - \delta_{kp}\delta_{im}] + \delta_{kl}[\delta_{im}\delta_{jp} - \delta_{ip}\delta_{jm}] \]
untuk setiap $i, j, k, l, m, p \in \{ 1, \cdots, n \}$, di mana $\delta$ adalah delta Kronecker.
Dalam bentuk determinan, kita peroleh
\[ [\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}][\vec{D}, \vec{E}, \vec{F}] = \begin{vmatrix} \vec{A}\cdot\vec{D} & \vec{A}\cdot\vec{E} & \vec{A}\cdot\vec{F} \\ \vec{B}\cdot\vec{D} & \vec{B}\cdot\vec{E} & \vec{B}\cdot\vec{F} \\ \vec{C}\cdot\vec{D} & \vec{C}\cdot\vec{E} & \vec{C}\cdot\vec{F} \end{vmatrix}. \]
Allahu Akbar.
