Submanifold

[cotrans]

Salam damai Kristus.

\section{Submanifold}

Bidang $xy$ pada ruang $\mathbb{R}^3$ merupakan contoh dari submanifold reguler dari sebuah manifold. Ia didefinisikan dengan menghilangkan fungsi koordinat $z$.

Definisi 9.1.

Himpunan bagian $S$ dari manifold $N$ berdimensi $n$ merupakan manifold reguler berdimensi $k$ jika untuk setiap $p \in S$ terdapat tetangga koordinat $(U, \phi) = (U, x^1, \cdots, x^n)$ dari $p$ dalam atlas maksimal dari $N$ sedemikian rupa sehingga $U\cap S$ didefinisikan dengan menghilangkan $n - k$ fungsi koordinat. Dengan menomori kembali koordinat tersebut,
kita boleh mengasumsikan bahwa $n -k$ buah fungsi koordinat ini adalah $x^{k + 1}, \cdots, x^n$.

Kita menyebut peta semacam ini, yaitu $(U, \phi)$ di $N$ sebagai peta adapsi relatif terhadap $S$.  Pada $U\cap S$, $\phi = (x^1, \cdots, x^k, 0, \cdots, 0)$.  Andaikan
\[ \phi_S \,:\, U\cap S \to \mathbb{R}^k \]
adalah pembatasan dari $k$ komponen pertama dari $\phi$ ke $U\cap S$, yaitu bahwa $\phi_S = (x^1, \cdots, x^k)$.  Perlu dicatat bahwa $(U\cap S, \phi_S)$ adalah peta untuk $S$ dalam subruang topologi.

Definisi 9.2.

Apabila $S$ merupakan submanifold reguler berdimensi $k$ pada manifold $N$ berdimensi $n$, maka $n - k$ dikatakan sebagai kodimensi dari $S$ di $N$.

Perhatian. Sebagai ruang topologis, submanifold reguler dari $N$ dikehendaki memiliki subruang topologi.

Agnus Dei, qui tollis peccata mundi.

[cotrans]

Ahlan wa Sahlan.

Contoh

Dalam definisi dari manifold reguler, dimensi $k$ dari submanifold tersebut boleh sama dengan $n$, yang merupakan dimensi dari manifold tersebut.  Dalam hal ini, $U\cap S$ didefinisikan dengan melenyapkan tak satu pun fungsi koordinat dan sehingga $U\cap S = U$.  Oleh karena itu, sebuah himpunan bagian terbuka dari sebuah manifold merupakan submanifold reguler yang berdimensi sama.

Perhatian.  Ada jenis lain dari submanifold, namun kecuali jika dikhususkan yang lain, dengan "submanifold", kita akan selalu mengartikan "submanifold reguler".

Contoh

Interval $S := (-1, 1)$ pada sumbu-$x$ merupakan submanifold reguler dari bidang-$xy$.  Sebagai sebuah peta adapsi, kita boleh mengambil bujur sangkar terbuka $(-1, 1)\times(-1, 1)$ dengan koordinat $x, y$. Lantas, $U\cap S$ mendekati himpunan nol dari $y$ pada $U$.

Perlu dicatat bahwa jika $V = (-2, 0)\times(-1, 1)$, maka $(V, x, y)$ bukanlah peta adapsi relatif terhadap $S$, mengingat $V\cap S$ merupakan interval terbuka $(-1, 0)$ pada sumbu-$x$, sementara himpunan nol dari $y$ pada $V$ merupakan interval terbuka $(-2, 0)$ pada sumbu-$x$.

Alhamdulillah hirobbil alamin.

[cotrans]

Salam sejahtera.

Proposisi 9.4.

Andaikan $S$ merupakan submanifold reguler dari $N$ dan $\mathcal{U} = \{ (U, \phi) \}$ merupakan koleksi dari peta adapsi kompatibel dari $N$ yang meliput $S$.  Lantas, $\{ (U\cap S, \phi_S) \}$ merupakan atlas untuk $S$.  Oleh karena itu, submanifold reguler manifold itu sendiri.  Jika $N$ berdimensi $n$ dan $S$ secara lokal didefinisikan dengan cara menghilangkan $n - k$ buah koordinat, maka $\dim S = k$.

Bukti.

Andaikan $(U, \phi) = (U, x^1, \cdots, x^n)$ dan $(V, \psi) = (V, y^1, \cdots, y^n)$ adalah dua buah peta adapsi dalam koleksi yang diberikan.  Anggaplah bahwa $U$ dan $V$ beririsan.  Sebagaimana kita perhatikan dalam Definisi 9.1, dalam sebarang peta adapsi relatif terhadap submanifold $S$, maka maka mungkin untuk menomori koordinat agar $n - k$ buah koordinat terakhir lenyap pada titik-titik dari $S$.

Lantas untuk $p \in U\cap V\cap S$, berlaku
\[ \phi(p) = (x^1, \cdots, x^k, 0, \cdots, 0) ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ \psi(p) = (y^1, \cdots, y^k, 0, \cdots, 0), \]
sehingga
\[ \phi_S(p) = (x^1, \cdots, x^k) ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ \psi_S(p) = (y^1, \cdots, y^k). \]
Oleh karena itu,
\[ (\psi_S\circ\phi_S^{-1})(x^1, \cdots, x^k) = (y^1, \cdots, y^k) \]
Mengingat $y^1, \cdots, y^k$ merupakan fungsi licin dari $x^1, \cdots, x^k$ (karena $\psi\circ\phi^{-1}$ licin), maka fungsi transisi $\psi_S\circ\phi_S^{-1}$ juga licin.  Secara serupa, mengingat $x^1, \cdots, x^k$ merupakan fungsi licin dari $y^1, \cdots, y^k$, maka $\psi_S\circ\phi_S^{-1}$ juga licin.  Dari sini, sebarang dua buah peta dalam $\{ (U\cap S, \phi_S) \}$ bersifat kompatibel dan licin.  Mengingat $\{ U\cap S \}_{U \in \mathcal{U}}$ meliput $S$, maka koleksi $\{ (U\cap S, \phi_S) \}$ merupakan atlas licin pada $S$.

Agnus Dei, qui tollis peccata mundi.

[cotrans]

Salam sejahtera.

\section{Himpunan Tingkat dari sebuah Fungsi}

Himpunan tingkat dari pemetaan $F \,:\, N \to M$ merupakan himpunan bagian
\[ F^{-1}(\{ c \}) = \{ p \in N ~|~ F(p) = c \} \]
untuk sebagian $c \in M$.  Notasi biasa untuk himpunan tingkat adalah $F^{-1}(c)$, alih-alih yang lebih benar, yaitu $F^{-1}(\{ c \})$.  Nilai $c \in M$ disebut tingkat dari himpunan tingkat $F^{-1}(c)$.  Apabila $F \,:\, N \to \mathbb{R}^m$, maka $Z(F) := F^{?1}(0)$ merupakan himpunan nol dari $F$.  Sebutlah bahwa $c$ merupakan nilai reguler dari $F$ jika dan hanya jika $c$ tidak berada di dalam bayangan dari $F$ maupun pada setiap titik $p \in F^{-1}(c)$, diferensial $F_{*, p} \,:\, T_pN \to T_{F(p)}M$ surjektif.  Bayangan balik $F^{-1}(c)$ dari nilai reguler $c$ disebut himpunan tingkat reguler.  Jika himpunan nol $F^{-1}(0)$ merupakan himpunan tingkat reguler dari $F \,:\, N \to \mathbb{R}^m$, maka ia disebut himpunan nol reguler.

Pernyataan 9.5.

Jika himpunan tingkat reguler $F^{?1}(c)$ tidak kosong, katakanlah $p \in F^{-1}(c)$, maka pemetaan $F \,:\, N \to M$ merupakan submersi pada $p$.  Oleh karena itu, $\dim N \geq \dim M$.

Lema 9.7.

Andaikan $g \,:\, N \to \mathbb{R}$ adalah fungsi licin.  Himpunan tingkat reguler $g^{-1}(c)$ dari tingkat $c$ dari fungsi $g$ merupakan himpunan nol reguler $f^{-1}(0)$ dari fungsi $f = g ? c$.

Bukti.

Untuk sebarang $p \in N$,
\[ g(p) = c \Leftrightarrow f(p) = g(p) - c = 0. \]
Dari sini, $g^{-1}(c) = f^{-1}(0)$.  Sebutlah himpunan $S$ ini.  Karena diferensial $f_{*, p}$ sama dengan $g_{*, p}$ pada setiap titik $p \in N$, maka fungsi $f$ dan $g$ secara eksak memiliki titik-titik kritis yang sama.  Mengingat $g$ tidak memiliki titik kritis di $S$, maka $f$ juga tidak.

Dalam Nama Bapa dan Putera dan Roh Kudus. Amin.

[cotrans]

Om santi santi om.

Teorema 9.8.

Andaikan $g \,:\, N \to \mathbb{R}$ adalah fungsi licin pada manifold $N$.  Lantas, himpunan tingkat regular tak kosong $S = g^{-1}(c)$ adalah submanifold regular dari $N$ dengan kodimensi $1$.

Bukti.

Andaikan $f = g - c$.  Dengan lema terdahulu, $S$ sama dengan $f^{-1}(0)$ dan merupakan himpunan tingkat regular dari $f$.  Andaikan $p \in S$.  Mengingat $p$ adalah titik reguler dari $f$, relatif terhadap sebarang peta $(U, x^1, \cdots, x^n)$ di sekitar $p$, maka $(\partial f/\partial x^i)(p) \neq 0$ untuk sebagian $i$.  Dengan menomori kembali $x^1, \cdots, x^n$, kita boleh menganggap bahwa $(\partial f/\partial x^1) \neq 0$.

Matriks Jacobian dari pemetaan licin $(f, x^2, \cdots, x^n) \,:\, U \to \mathbb{R}^n$ adalah
\[ \begin{pmatrix} \partial f/\partial x^1 & \partial f/\partial x^2 & \cdots & \partial f/\partial x^n \\ \partial x^2/\partial x^1 & \partial x^2/\partial x^2 & \cdots & \partial x^2/\partial x^n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \partial x^n/\partial x^1 & \partial x^n/\partial x^2 & \cdots & \partial x^n/\partial x^n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \partial f/\partial x^1 & \partial f/\partial x^2 & \cdots & \partial f/\partial x^n \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}. \]

Jadi, determinan Jacobian $\partial(f, x^2, \cdots, x^n)/\partial(x^1, \cdots, x^n)$ di $p$ adalah $(\partial f/\partial x^1)(p) \neq 0$.  Dengan teorema fungsi invers, terdapat tetangga $U_p$ dari $p$ yang mana $f , x^2, \cdots, x^n$ membentuk sistem koordinat.  Relatif terhadap peta $(U_p, f, x^2, \cdots, x^n)$, himpunan tingkat $U_p\cap S$ didefinisikan dengan mengatur koordinat pertama $f$ agar sama dengan $0$, sehingga $(U_p, f, x^2, \cdots, x^n)$ merupakan peta adapsi relatif terhadap $S$.  Mengingat $p$ sebarang, maka $S$ merupakan submanifold reguler berdimensi $n - 1$ di $N$.


Gloria in excelsis Deo.