Om Swastyastu.
\section{Medan Magnet akibat Arus Berbentuk Lingkaran}
Andaikan di ruang $\mathbb{R}^3$ ada sebuah arus berbentuk lingkaran, yaitu
\[ S^1(R) := \{R(\cos\phi, \sin\phi, 0) ~|~ \phi \in \{0\}\cup(0, 2\pi)\} \]
yang mengalir ke arah meningkatnya nilai $\phi$, di mana $R \in \mathbb{R}^+$.
Tentu saja, posisi titik pada $S^1(R)$ adalah
\[ \vec{r}' := \hat{x}R\cos\phi' + \hat{y}R\sin\phi' \]
di mana $\hat{x} := (1, 0, 0)$, $\hat{y} := (0, 1, 0)$, dan $\phi' \in \{0\}\cup(0, 2\pi)$.
Posisi titik sepanjang arah $\hat{z} := (0, 0, 1)$ adalah $\vec{r} = z\hat{z}$ di mana $z \in \mathbb{R}$.
Tentu saja,
\[ \vec{r} - \vec{r}' = -\hat{x}R\cos\phi' - \hat{y}R\sin\phi' + \hat{z}z \]
dan $|\vec{r} - \vec{r}'|^2 = R^2 + z^2$. Demikian pula, $d\vec{r}' = R\,d\phi'(-\hat{x}\sin\phi' + \hat{y}\cos\phi')$.
\[ d\vec{r}'\times(\vec{r} - \vec{r}') = (\hat{x}z\cos\phi' + \hat{y}z\sin\phi' + \hat{z}R)R\,d\phi'. \]
Medan magnet di titik $\vec{r}$ adalah
\[ \vec{B} = \frac{\mu_0I}{4\pi}\int_{S^1(R)} \frac{d\vec{r}'\times(\vec{r} - \vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|^3}. \]
\[ \vec{B} = \frac{\mu_0I}{4\pi}\int_0^{2\pi} \frac{\hat{x}z\cos\phi' + \hat{y}z\sin\phi' + \hat{z}R}{(R^2 + z^2)^{3/2}}R\,d\phi'. \]
\[ \vec{B} = \frac{\mu_0I}{4\pi}\frac{R^2}{(R^2 + z^2)^{3/2}}2\pi\hat{z} = \frac{\mu_0I}{2}\frac{R^2}{(R^2 + z^2)^{3/2}}\hat{z}. \]
Apabila $z = 0$, maka $\vec{B} = \hat{z}\mu_0I/(2R)$ sesuai dengan yang diharapkan.
Sampai jumpa lagi.
