Namo Buddhaya.
\section{Menghitung Tetapan Kelajuan Cahaya dalam Ruang Hampa}
Tetapan kelajuan cahaya dalam ruang hampa, yaitu $c$, dapat dihitung tanpa eksperimen, dengan aksioma yang mengatakan bahwa jarak tempuh cahaya dalam ruang hampa dalam satu hari sama dengan panjang lintasan yang ditempuh bulan selama seribu tahun relatif terhadap kerangka acuan matahari, dengan menganggap bahwa kelajuan cahaya adalah $c$ yang tetap dengan lintasan gerak sebarang di ruang $\mathbb{R}^3$.
Apabila posisi bumi menurut matahari adalah $\vec{R} := R(\hat{x}\cos\Omega t + \hat{y}\sin\Omega t)$, dan posisi bulan menurut bumi adalah $\vec{r}' := r(\hat{x}\cos\omega t + \hat{y}\sin\omega t)$ di mana $\hat{x} := (1, 0, 0)$, $\hat{y} := (0, 1, 0)$, $\Omega := 2\pi/(1\operatorname{tahun~masehi})$ adalah frekuensi sudut putaran bumi relatif terhadap matahari, $\omega := 2\pi/(1\operatorname{bulan~siderik})$ adalah frekuensi sudut putaran bulan relatif terhadap bumi, dan $t$ adalah waktu, serta $R$ adalah jarak bumi ke matahari, dan $r$ adalah jarak bulan ke bumi, maka posisi bulan relatif terhadap matahari adalah
\[ \vec{r} = \vec{R} + \vec{r}' = \hat{x}(R\cos\Omega t + r\sin\omega t) + \hat{y}(R\sin\Omega t + r\sin\omega t). \]
Oleh karena itu, panjang lintasan yang ditempuh bulan selama $1000$ tahun menurut matahari adalah
\[ l := \int_{t = 0}^{t = T} |d\vec{r}| = \int_0^T \left|\frac{d\vec{r}}{dt}\right|dt = c\tau \]
di mana $T := 1000\operatorname{tahun~siderik}$, $\tau := 1\operatorname{hari siderik}$.
Kecepatan sesaat bulan menurut matahari pada waktu $t$ adalah
\[ \frac{d\vec{r}}{dt} = -\hat{x}(\Omega R\sin\Omega t + \omega r\sin\omega t) + \hat{y}(\Omega R\cos\Omega t + \omega r\cos\omega t) \]
sehingga
\[ \left|\frac{d\vec{r}}{dt}\right|^2 = (\Omega R\sin\Omega t + \omega r\sin\omega t)^2 + (\Omega R\cos\Omega t + \omega r\cos\omega t)^2 \]
\[ = ((\Omega R)^2 + (\omega r)^2) + 2\Omega R\omega r\cos((\Omega - \omega)t). \]
Karena $\cos\alpha = 1 - 2\sin^2(\alpha/2)$ untuk setiap $\alpha \in \mathbb{R}$, maka
\[ \left|\frac{d\vec{r}}{dt}\right|^2 = ((\Omega R)^2 + (\omega r)^2) + 2\Omega R\omega r\left(1 - 2\sin^2\left(\frac{\Omega - \omega}{2}t\right)\right) \]
\[ = (\Omega R + \omega r)^2 - 4\Omega R\omega r\sin^2\left(\frac{\Omega - \omega}{2}t\right) = (\Omega R + \omega r)^2(1 - k^2\sin^2\phi) \]
di mana
\[ k := \frac{2\sqrt{\Omega R\omega r}}{\Omega R + \omega r} ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ \phi := \frac{|\Omega - \omega|}{2}t \]
sehingga
\[ \left|\frac{d\vec{r}}{dt}\right| = |\Omega R + \omega r|\sqrt{1 - k^2\sin^2\phi}. \]
Oleh karena itu,
\[ l = |\Omega R + \omega r|\int_0^T \sqrt{1 - k^2\sin^2\phi}dt = 2\frac{|\Omega R + \omega r|}{|\Omega - \omega|}\int_0^{\frac{|\Omega - \omega|}{2}T} \sqrt{1 - k^2\sin^2\phi}d\phi. \]
Dengan mendefinisikan bentuk Legendre dari integral eliptik jenis kedua, yaitu
\[ E(k, \Phi) := \int_0^\Phi \sqrt{1 - k^2\sin^2\phi}d\phi, \]
maka
\[ l = 2\frac{|\Omega R + \omega r|}{|\Omega - \omega|}E\left(\frac{2\sqrt{\Omega R\omega r}}{\Omega R + \omega r}, \frac{|\Omega - \omega|}{2}T\right) = c\tau \]
alias
\[ c = \frac{2}{\tau}\frac{|\Omega R + \omega r|}{|\Omega - \omega|}E\left(\frac{2\sqrt{\Omega R\omega r}}{\Omega R + \omega r}, \frac{|\Omega - \omega|}{2}T\right). \]
Berikut ini adalah program MATLAB untuk menghitung $c$.
clear all;
format long;
tau = 86164.0906; % detik
T = 12000*27.32661*tau; % detik
satu_tahun = 365.25636*tau; % detik
Omega = 2*pi/satu_tahun; % radian per detik
satu_bulan = 27.32661*tau; % radian per detik
omega = -2*pi/satu_bulan; % radian per detik
R = 149600000000; % meter
r = 384400000; % meter
k = 2*sqrt(Omega*R*omega*r)/(Omega*R + omega*r);
Phi = abs(Omega - omega)*T/2;
N = 20000;
dphi = Phi/N;
phi(1) = dphi;
for m = 2:N
phi(m) = phi(m - 1) + dphi;
end
E = 0;
for n = 1:N;
E = E + sqrt(1 - k^2*sin(phi(n))^2)*dphi;
end
C = (2/tau)*(Omega*R + omega*r)/abs(Omega - omega);
c = C*E;
Apabila program tersebut dijalankan, maka diperoleh $c = 9,7968(10^9)\operatorname{m}/\operatorname{s}$ yang hampir sama dengan $c = 10^{10}\operatorname{m}/\operatorname{s}$.
Nisbah $c$ ini terhadap kelajuan cahaya yang kita ketahui sekarang ini, yaitu $299792458\operatorname{m}/\operatorname{s}$ adalah $c/(299792458\operatorname{m}/\operatorname{s}) = 32,6785$.
Sanctus, Sanctus, Dominus Deus Sabaoth.
