Namo amitabha.
\section{Medan Listrik akibat Muatan Berbentuk Cakram}
Andaikan di ruang $\mathbb{R}^3$ ada sebuah muatan yang berbentuk cakram dengan rapat muatan luasan $\sigma \in \mathbb{R}$ yang konstan, yaitu
\[ D^2(R) := \{(x, y, 0) ~|~ x, y \in \mathbb{R}, ~ x^2 + y^2 < R^2\} \]
di mana $R \in \mathbb{R}^+$ adalah jari-jari cakram tersebut.
Posisi titik pada $D^2(R)$ adalah
\[ \vec{r}' := \hat{x}l'\cos\phi' + \hat{y}l'\sin\phi' \]
di mana $l' \in [0, R]$ dan $\phi' \in \{0\}\cup(0, 2\pi)$, serta $\hat{x} := (1, 0, 0)$ dan $\hat{y} := (0, 1, 0)$.
Posisi titik di ruang $\mathbb{R}^3$ adalah
\[ \vec{r} := \hat{x}l\cos\phi + \hat{y}l\sin\phi + \hat{z}z \]
di mana $l \in \mathbb{R}^+\cup\{(0, 0, 0)\}$, $\phi \in \{0\}\cup(0, 2\pi)$, dan $z \in \mathbb{R}$, serta $\hat{z} := (0, 0, 1)$.
Tentu saja,
\[ \vec{r} - \vec{r}' = \hat{x}(l\cos\phi - l'\cos\phi') + \hat{y}(l\sin\phi - l'\sin\phi') + \hat{z}z \]
sehingga
\[ |\vec{r} - \vec{r}'|^2 = l^2 + l'^2 - 2ll'\cos(\phi - \phi') + z^2. \]
Medan listrik di titik $\vec{r}$ adalah
\[ \vec{E} = \frac{\sigma}{4\pi\epsilon_0}\int_0^R\int_0^{2\pi} \frac{\hat{x}(l\cos\phi - l'\cos\phi') + \hat{y}(l\sin\phi - l'\sin\phi') + \hat{z}z}{(l^2 + l'^2 - 2ll'\cos(\phi - \phi') + z^2)^{3/2}}l'd\phi'dl' \]
di mana $\epsilon_0$ merupakan permitivitas listrik dalam ruang hampa.
Integral terakhir susah untuk diselesaikan secara analitik sehingga untuk mudahnya, kita ambil kasus khusus $l = 0$, yaitu
\[ \vec{E} = \frac{\sigma}{4\pi\epsilon_0}\int_0^R\int_0^{2\pi} \frac{-\hat{x}l'\cos\phi' - \hat{y}l'\sin\phi' + \hat{z}z}{(l'^2 + z^2)^{3/2}}l'd\phi'dl' \]
alias
\[ \vec{E} = \hat{z}\frac{\sigma z}{4\pi\epsilon_0}\int_0^R\int_0^{2\pi} \frac{l'd\phi'dl'}{(l'^2 + z^2)^{3/2}} = \hat{z}\frac{\sigma z}{2\epsilon_0}\int_0^R \frac{l'dl'}{(l'^2 + z^2)^{3/2}}. \]
Misalkan $l'' := \sqrt{l'^2 + z^2}$, maka $l''^2 = l'^2 + z^2$ sehingga dideferensialkan menjadi $l''dl'' = l'dl'$.
\[ \vec{E} = \hat{z}\frac{\sigma z}{2\epsilon_0}\int_{|z|}^{\sqrt{R^2 + z^2}} \frac{l''dl''}{l''^3} = \hat{z}\frac{\sigma z}{2\epsilon_0}\int_{|z|}^{\sqrt{R^2 + z^2}} l''^{-2}dl'' \]
sehingga
\[ \vec{E} = \hat{z}\frac{\sigma z}{2\epsilon_0}\left(\frac{1}{|z|} - \frac{1}{\sqrt{R^2 + z^2}}\right). \]
Jika $R \to \infty$, maka
\[ \vec{E} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}\frac{z}{|z|}\hat{z} \]
sesuai yang diharapkan.
Haleluya.
