Panjang, Luas, dan Volume Relativistik

[cotrans]

Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh.

\section{Panjang, Luas, dan Volume Relativistik}

Panjang sebuah kurva $C \subset \mathbb{R}^3$ yang bergerak dengan kecepatan $\vec{v}$ adalah
$$L = \int_C \sqrt{(d\vec{r}\cdot\hat{v})^2/\gamma^2 + |d\vec{r} - d\vec{r}\cdot\hat{v}\hat{v}|^2} = \int_C \sqrt{|d\vec{r}|^2 - (d\vec{r}\cdot\vec{v})^2/c^2}$$
di mana $\vec{r} \in C$, $\hat{v} := \vec{v}/v$, $v := |\vec{v}|$, $\gamma := 1/\sqrt{1 - (v/c)^2}$, dan $c$ adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa.

Luas sebuah permukaan $S \subset \mathbb{R}^3$ yang bergerak dengan kecepatan $\vec{v}$ adalah
$$A = \int_S \sqrt{(d^2\vec{r}\cdot\hat{v})^2 + |d^2\vec{r} - d^2\vec{r}\cdot\hat{v}\hat{v}|^2/\gamma^2} = \int_S \sqrt{|d^2\vec{r}|^2 - |d^2\vec{r}\times\vec{v}|^2/c^2}$$
di mana $\vec{r} \in S$, $\hat{v} := \vec{v}/v$, $v := |\vec{v}|$, $\gamma := 1/\sqrt{1 - (v/c)^2}$, dan $c$ adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa.

Volume sebuah bangun ruang $W \subseteq \mathbb{R}^3$ yang bergerak dengan kecepatan $\vec{v}$ adalah
$$V = \int_W |d^3\vec{r}|/\gamma$$
di mana $\vec{r} \in W$, $\hat{v} := \vec{v}/v$, $v := |\vec{v}|$, $\gamma := 1/\sqrt{1 - (v/c)^2}$, dan $c$ adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa.

Sanctus, Sanctus, Dominus Deus Sabaoth.