Perkalian Silang di Ruang $\mathbb{R}^n$

[Roni]

Gloria in excelsis Deo.

\section{Perkalian Silang di Ruang $\mathbb{R}^n$}

Sejauh ini, kita telah mengenal perkalian silang antara dua buah vektor di ruang $\mathbb{R}^3$ beserta teorema-teoremanya dan sifat-sifatnya.  Sekarang, bagaimana perkalian silang antara dua buah vektor dilakukan di ruang $\mathbb{R}^n$ dengan $n \neq 3$? Mungkinkah?  Jawabannya adalah mungkin.  Berikut ini adalah penjelasannya.

Misalkan ada dua buah vektor $\vec{A} := \sum_{i = 1}^n A_i\hat{x}_i$ dan $\vec{B} := \sum_{i = 1}^n B_i\hat{x}_i$, di mana $A_i, B_i \in \mathbb{R}$ dan
$$\hat{x}_i := (\underset{n}{\underbrace{0, \cdots, 0, \overset{i}{1}, 0, \cdots, 0}})$$
untuk semua $i \in \{ 1, \cdots, n \}$.  Perkalian silang antara $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ adalah sedemikian
$$\vec{A}\times\vec{B} = \sum_{i, j = 1}^n A_iB_j\hat{x}_i\times\hat{x}_j.$$
Lantas, seperti apa hasil dari $\hat{x}_i\times\hat{x}_j$?  Saya berpendapat bahwa kita tidak perlu mempertanyakan seperti apa bentuk kongkret dari $\hat{x}_i\times\hat{x}_j$, karena menurut hemat saya, perkalian silang tersebut semata-mata hanyalah persandingan belaka yang tentu saja memiliki konsekuensi matematis tertentu untuk selanjutnya.  Yang jelas, meskipun demikian, tetaplah berlaku sifat-sifat seperti
$$\hat{x}_j\times\hat{x}_i = -\hat{x}_i\times\hat{x}_j,$$
$$\hat{x}_i\times(\hat{x}_j\times\hat{x}_k) = \delta_{ik}\hat{x}_j - \delta_{ij}\hat{x}_k,$$
(di mana $\delta_{ij}$ adalah delta Kronecker) dan
$$(\hat{x}_i\times\hat{x}_j)\cdot(\hat{x}_k\times\hat{x}_l) = \delta_{ik}\delta_{jl} - \delta_{il}\delta_{jk}.$$

Sekarang, kita akan mencoba menghitung $\vec{C}\cdot\vec{D}$ di mana $\vec{C} := \frac{1}{2}\sum_{i, j = 1}^n C_{ij}\hat{x}_i\times\hat{x}_j$ dan $\vec{D} := \frac{1}{2}\sum_{i, j = 1}^n D_{ij}\hat{x}_i\times\hat{x}_j$ di mana $C_{ij}, D_{ij} \in \mathbb{R}$ bersifat antisimetris terhadap indeks $i, j$ untuk setiap $i, j \in \{ 1, \cdots, n \}$.  Perkaliannya adalah sebagai berikut.
$$\vec{C}\cdot\vec{D} = \frac{1}{4}\sum_{i, j, k, l = 1}^n C_{ij}D_{kl}(\delta_{ik}\delta_{jl} - \delta_{il}\delta_{jk}).$$
$$\vec{C}\cdot\vec{D} = \frac{1}{4}\sum_{i, j = 1}^n C_{ij}(D_{ij} - D_{ji}).$$
$$\vec{C}\cdot\vec{D} = \frac{1}{2}\sum_{i, j = 1}^n C_{ij}D_{ij}$$
sesuai yang diharapkan.  Hasil ini mirip dengan perkalian titik antara dua buah vektor biasa.

Hosana in excelcis.