Hosana in excelcis.
\section{Persamaan Diferensial Biasa}
Andaikan $n$ adalah bilangan asli.
Secara umum, persamaan diferensial biasa memiliki bentuk
\[ f(x, y, y_1, \cdots, y_n) = 0 \]
di mana $x, y \in \mathbb{C}$ dan $y_j := d^jy/dx^j$ untuk setiap $j \in \{ 1, \cdots, n \}$ serta $f \,:\, \mathbb{C}^{n + 2} \to \mathbb{C}$ adalah suatu pemetaan. Di sini peubah $y$ yang akan dicari dalam ungkapan yang bergantung pada $x$.
Peubah $y$ dapat dicari dengan prosedur sebagai berikut.
\[ (f\circ(xc_1, \operatorname{id}, d\operatorname{id}/dx, \cdots, d^n\operatorname{id}/dx^n))(y) = 0 \]
di mana $c_1 \,:\, \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ adalah sebuah pemetaan sedemikian $c_1(x) = 1$ untuk semua $x \in \mathbb{C}$, $\operatorname{id} \,:\, \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ adalah sebuah pemetaan sedemikian $\operatorname{id}(x) = x$ untuk semua $x \in \mathbb{C}$, dan $d$ adalah operator diferensial, sehingga penyelesaian umum dari persamaan diferensial biasa tersebut adalah
\[ y = (f\circ(xc_1, \operatorname{id}, d\operatorname{id}/dx, \cdots, d^n\operatorname{id}/dx^n))^{-1}(0). \]
Tingkat dari suatu persamaan diferensial biasa merupakan turunan tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial biasa tersebut, sedangkan derajat dari suatu persamaan diferensial biasa merupakan pangkat tertinggi dari turunan tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial biasa tersebut.
Penyelesaian persamaan diferensial biasa yang dapat dipisahkan peubah $x$ dan $y$ -nya, yaitu
\[ f_1(x)f_2(y)y' + g_1(x)g_2(y) = 0 \]
alias
\[ f_1(x)f_2(y)dy + g_1(x)g_2(y)dx = 0 \]
di mana $f_1, f_2, g_1, g_2 \,:\, \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ adalah empat buah pemetaan adalah
\[ \frac{f_2(y)}{g_2(y)}dy + \frac{g_1(x)}{f_1(x)}dx = 0 \]
alias
\[ \int_{y_0}^y \frac{f_2(y)}{g_2(y)}dy + \int_0^x \frac{g_1(x)}{f_1(x)}dx = 0 \]
di mana $y_0$ adalah nilai $y$ ketika $x = 0$.
Fungsi $F \,:\, \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}$ disebut homogen berderajat $n$ apabila
\[ F(\lambda x, \lambda y) = \lambda^nF(x, y) \]
di mana $\lambda \in \mathbb{C}$ adalah suatu tetapan. Persamaan diferensial
\[ M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, \]
di mana $M, N \,:\, \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}$ adalah suatu pemetaan, disebut homogen apabila $M$ dan $N$ homogen berderajat sama.
Agnus Dei, qui tollis peccata mundi.
