Shalom aleichem.
\section{Kasus Aneh pada Lingkaran}
Andaikan di $\mathbb{R}^2$ terdapat sebuah lingkaran $S^1(r) := \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 ~|~ x^2 + y^2 = r^2\}$ di mana $r \in \mathbb{R}^+$.
Lantas, andaikan posisi titik $A$ pada $S^1(r)$ adalah $\vec{a} = r(\hat{x}\cos\alpha + \hat{y}\sin\alpha)$ di mana $\hat{x} := (1, 0)$ dan $\hat{y} := (0, 1)$, dan posisi titik $B$ adalah $\vec{b} = r(\hat{x}\cos\beta - \hat{y}\sin\beta)$. Di sini, $\alpha, \beta \in \{0\}\cup(0, 2\pi)$ .
Tentu saja, $\vec{a}\cdot\hat{x} = r\cos\alpha$ dan $\vec{b}\cdot\hat{x} = r\cos\beta$ sehingga $\vec{a}\cdot\vec{b} = r^2\cos(\alpha + \beta)$.
Jika sudut yang dibentuk oleh vektor $\vec{a} - \vec{b}$ and $r\hat{x} - \vec{b}$ adalah $\gamma$, maka terdapat ungkapan
\[ (\vec{a} - \vec{b})\cdot(r\hat{x} - \vec{b}) = |\vec{a}- \vec{b}||r\hat{x} - \vec{b}|\cos\gamma \]
alias
\[ \cos\gamma = \frac{1 + \cos\alpha - \cos\beta - \cos(\alpha + \beta)}{2\sqrt{1 - \cos(\alpha + \beta)}\sqrt{1 - \cos\beta}}. \]
Pembilang dari persamaan terakhir adalah
\[ N := 1 + \cos\alpha - \cos\beta - \cos(\alpha+\beta). \]
\[ N = 1 + \cos\alpha - \cos\beta - (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta). \]
\[ N = 2\sin^2(\beta/2) + 2\cos\alpha\sin^2(\beta/2) + 4\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)\sin(\beta/2)\cos(\beta/2). \]
\[ N = 4\cos^2(\alpha/2)\sin^2(\beta/2) + 4\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)\sin(\beta/2)\cos(\beta/2). \]
\[ N = 4\cos(\alpha/2)\sin(\beta/2)(\cos(\alpha/2)\sin(\beta/2) + \sin(\alpha/2)\cos(\beta/2)). \]
\[ N = 4\cos(\alpha/2)\sin(\beta/2)\sin((\alpha + \beta)/2). \]
Penyebutnya adalah
\[ D := 2\sqrt{1 - \cos(\alpha+\beta)}\sqrt{1 - \cos\beta}. \]
\[ D = 4|\sin(\beta/2)||\sin((\alpha + \beta)/2)|. \]
Oleh karena itu,
\[ \cos\gamma = \frac{N}{D} = \cos(\alpha/2)\frac{\sin(\beta/2)\sin((\alpha + \beta)/2)}{|\sin(\beta/2)||\sin((\alpha + \beta)/2)|} \]
Jadi, $\gamma$ bernilai $\alpha/2$ untuk $0<\beta<2\pi-\alpha$, dan bernilai $\pi - \alpha/2$ untuk $2\pi - \alpha < \beta< 2\pi$.
Arigatou ikimono gakari.
