Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh.
\section{Medan Magnet pada Solenoida}
Andaikan di ruang $\mathbb{R}^3$ ada sebuah solenoida dengan $N$ buah lilitan, yaitu
\[ S(R, L) := \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ x^2 + y^2 = R^2, ~ 0 < z < L\} \]
di mana $R, L \in \mathbb{R}^+$.
Posisi titik pada $S(R, L)$ tentu saja adalah
\[ \vec{r}' := \hat{x}R\cos\phi' + \hat{y}R\sin\phi' + \hat{z}z' \]
di mana $\hat{x} := (1, 0, 0)$, $\hat{y} := (0, 1, 0)$, $\hat{z} := (0, 0, 1)$, $\phi' \in \{0\}\cup(0, 2\pi)$, dan $z' \in [0, L]$.
Posisi titik sepanjang sumbu solenoida tentu saja adalah $\vec{r} := \hat{z}z$ sehingga
\[ \vec{r} - \vec{r}' = -\hat{x}R\cos\phi' - \hat{y}R\sin\phi' + \hat{z}(z - z') \]
maka $|\vec{r} - \vec{r}'| = R^2 + (z - z')^2$ dan $d\vec{r}' = R\,d\phi'(-\hat{x}\sin\phi' + \hat{y}\cos\phi')$.
Medan magnet di titik $\vec{r}$ tersebut tentu saja adalah
\[ \vec{B} = \frac{\mu_0I}{4\pi}\int_{S(R, L)} \frac{d\vec{r}'\times(\vec{r} - \vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|^3}dn \]
di mana $\mu_0$ adalah permeabilitas magnet di ruang hampa, $I$ adalah besar arus listrik, dan $dn := (N/L)dz'$.
\[ d\vec{r}'\times(\vec{r} - \vec{r}') = [\hat{x}(z - z')\cos\phi' + \hat{y}(z - z')\sin\phi' + \hat{z}R]R\,d\phi'. \]
\[ \vec{B} = \frac{\mu_0IN}{4\pi L}\int_0^L \int_0^{2\pi} \frac{\hat{x}(z - z')\cos\phi' + \hat{y}(z - z')\sin\phi' + \hat{z}R}{[R^2 + (z - z')^2]^{3/2}}R\,d\phi'\,dz'. \]
\[ \vec{B} = \frac{\mu_0IN}{2L}R^2\hat{z}\int_0^L \frac{dz'}{[R^2 + (z - z')^2]^{3/2}}. \]
Apabila $z - z' := R\tan\alpha$, maka $dz' = -R\sec^2\alpha\,d\alpha$ sehingga
\[ \vec{B} = \frac{\mu_0IN}{2L}R^2\hat{z}\int_{\alpha_0}^{\alpha_L} \frac{-R\sec^2\alpha\,d\alpha}{R^3\sec^3\alpha} \]
di mana $\tan\alpha_0 := z/R$ dan $\tan\alpha_L := (z - L)/R$.
\[ \vec{B} = -\frac{\mu_0IN}{2L}\hat{z}\int_{\alpha_0}^{\alpha_L} \cos\alpha\,d\alpha. \]
\[ \vec{B} = \frac{\mu_0IN}{2L}\hat{z}(\sin\alpha_0 - \sin\alpha_L). \]
\[ \vec{B} = \frac{\mu_0IN}{2L}\hat{z}\left(\frac{z}{\sqrt{R^2 + z^2}} - \frac{z - L}{\sqrt{R^2 + (z - L)^2}}\right). \]
Jika kita ambil kasus khusus $R \to 0$, maka
\[ \vec{B} = \frac{\mu_0IN}{2L}\left(\frac{z}{|z|} - \frac{z - L}{|z - L|}\right)\hat{z}. \]
\[ \vec{B} = \frac{\mu_0IN}{2L}\left(\operatorname{sgn}z - \operatorname{sgn}(z - L)\right)\hat{z}. \]
Medan magnet di pusat solenoida, yaitu $z = L/2$, tentu saja adalah
\[ \vec{B} = \frac{\mu_0IN}{L}\hat{z}, \]
serta medan magnet di ujung solenoida, yaitu $z = 0$ atau $z = L$, tentu saja adalah
\[ \vec{B} = \frac{\mu_0IN}{2L}\hat{z} \]
sesuai yang diharapkan.
Sekian dan terima kasih.
