Sanctus, Sanctus, Dominus Deus Sabaoth.
\section{Bukti Relativitas Volume Sebarang Bangun Ruang}
Volume sebuah partisi $d^3\vec{r} := dx\wedge dy\wedge dz$ dari bangun ruang $W \subseteq \mathbb{R}^3$ yang bergerak dengan kecepatan $\vec{v}$ adalah $d^3\vec{R} := dX\wedge dY\wedge dZ$ yang merupakan partisi dari bangun ruang $W' \subseteq \mathbb{R}^3$, sedemikian rupa
\[ dX = (d\vec{r} + (1/\gamma - 1)d\vec{r}\cdot\hat{v}\hat{v})\cdot\hat{x} = dx + (1/\gamma - 1)d\vec{r}\cdot\hat{v}n_x, \]
\[ dY = (d\vec{r} + (1/\gamma - 1)d\vec{r}\cdot\hat{v}\hat{v})\cdot\hat{y} = dy + (1/\gamma - 1)d\vec{r}\cdot\hat{v}n_y, \]
\[ dZ = (d\vec{r} + (1/\gamma - 1)d\vec{r}\cdot\hat{v}\hat{v})\cdot\hat{z} = dz + (1/\gamma - 1)d\vec{r}\cdot\hat{v}n_z, \]
di mana $\vec{r} := (x, y, z) \in W$, $\vec{R} := (X, Y, Z) \in W'$, $\hat{v} := \vec{v}/v$, $v := |\vec{v}|$, $\gamma := 1/\sqrt{1 - (v/c)^2}$, $c$ adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa, $\hat{x} := (1, 0, 0)$, $\hat{y} := (0, 1, 0)$, $\hat{z} := (0, 0, 1)$, dan $\hat{v} := (n_x, n_y, n_z)$.
Oleh karena itu,
\[ d^3\vec{R} = (dx + (1/\gamma - 1)d\vec{r}\cdot\hat{v}n_x)\wedge(dy + (1/\gamma - 1)d\vec{r}\cdot\hat{v}n_y)\wedge(dz + (1/\gamma - 1)d\vec{r}\cdot\hat{v}n_z). \]
Karena $d\vec{r}\cdot\hat{v} = dx\,n_x + dy\,n_y + dz\,n_z$, maka
\[ d^3\vec{R} = dx\wedge dy\wedge dz + (1/\gamma - 1)[n_z dx\wedge dy\wedge(d\vec{r}\cdot\hat{v}) + n_y dx\wedge(d\vec{r}\cdot\hat{v})\wedge dz + n_x (d\vec{r}\cdot\hat{v})\wedge dy\wedge dz] \]
sebab $(d\vec{r}\cdot\hat{v})\wedge(d\vec{r}\cdot\hat{v}) = 0$. Karena $dx\wedge dx = dy\wedge dy = dz\wedge dz = 0$, maka
\[ d^3\vec{R} = dx\wedge dy\wedge dz + (1/\gamma - 1)(n_z^2 + n_y^2 + n_x^2)dx\wedge dy\wedge dz. \]
Karena $n_z^2 + n_y^2 + n_x^2 = 1$, maka
\[ d^3\vec{R} = dx\wedge dy\wedge dz + (1/\gamma - 1)dx\wedge dy\wedge dz = dx\wedge dy\wedge dz/\gamma = d^3\vec{r}/\gamma \]
sesuai yang diharapkan.
Inilah relativitas volume untuk sebarang bangun ruang.
Gloria in excelsis Deo.
