Wa'alaikumsalam warahmatullahi wabarakatuh.
\section{Persamaan Schrodinger Relativistik}
Tenaga kinetik partikel relativistik adalah
\[ T = \sqrt{(pc)^2 + (mc^2)^2} - mc^2, \]
di mana $p$, $c$, dan $m$ berturut-turut adalah besar momentum partikel kuantum relativistik, kelajuan cahaya dalam ruang hampa, dan massa rehat partikel kuantum.
Hukum kelestarian tenaga relativistik adalah
\[ E = T + V = \sqrt{(pc)^2 + (mc^2)^2} - mc^2 + V \]
alias
\[ E + mc^2 - V = \sqrt{(pc)^2 + (mc^2)^2}, \]
di mana $E$, $T$, dan $V$ berturut-turut adalah tenaga mekanik, tenaga kinetik, dan tenaga potensial milik partikel kuantum tersebut.
Pengkuadratan kedua ruas persamaan terakhir menghasilkan
\[ E^2 + (mc^2)^2 + V^2 + 2mc^2E - 2VE - 2mc^2V = (pc)^2 + (mc^2)^2 \]
alias
\[ E^2 + V^2 + 2mc^2E - 2VE - 2mc^2V - (pc)^2 = 0. \]
Simpangan gelombang partikel bebas pada posisi $\vec{r}$ dan waktu $t$ adalah
\[ \Psi = Ne^{i(\vec{p}\cdot\vec{r} - Et)/\hbar}, \]
di mana $N$ adalah tetapan normalisasi, $\vec{p}$ adalah momentum partikel tersebut, dan $\hbar := 1,055\cdots(10^{-34})\operatorname{J}\operatorname{s}$ adalah tetapan Planck tereduksi.
Dari persamaan terakhir, diperoleh
\[ \nabla\Psi = i\vec{p}\Psi/\hbar, ~~~~~ \nabla^2\Psi = -p^2\Psi/\hbar^2, ~~~~~ p := |\vec{p}|, ~~~~~ p^2\Psi = -\hbar^2\nabla^2\Psi, \]
\[ \partial\Psi/\partial t = -iE\Psi/\hbar, ~~~~~ E\Psi = i\hbar\partial\Psi/\partial t, ~~~~~ (pc)^2\Psi = -(\hbar c)^2\nabla^2\Psi. \]
Selanjutnya,
\[ \left(E^2 + V^2 + 2mc^2E - 2VE - 2mc^2V - (pc)^2\right)\Psi = 0. \]
Oleh karena itu,
\[ \left(-\hbar^2\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)^2 + V^2 + 2mc^2\left(i\hbar\frac{\partial}{\partial t} - V\right) - 2i\hbar V\frac{\partial}{\partial t} + (\hbar c)^2\nabla^2\right)\Psi = 0 \]
alias
\[ \left(-\frac{\hbar^2}{2mc^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)^2 + \frac{V^2}{2mc^2} + i\hbar\frac{\partial}{\partial t} - V - \frac{i\hbar}{mc^2}V\frac{\partial}{\partial t} + \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\right)\Psi = 0 \]
alias
\[ \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\nabla^2 - \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\right)^2\right) + V\left(1 - \frac{1}{2mc^2}\left(V - 2i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\right)\right)\right)\Psi = i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}, \]
yang merupakan persamaan Schrodinger relativistik.
Limit non-relativistik-nya, yaitu $c \to \infty$ alias $1/c \to +0$, adalah
\[ \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V\right)\Psi = i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}, \]
yang merupakan persamaan Schrodinger non-relativistik.
Meskipun ternyata persamaan Klein-Gordon dan persamaan Dirac bukanlah persamaan Schrodinger relativistik, tetapi bagaimanapun juga persamaan Klein-Gordon tetaplah persamaan Klein-Gordon, dan persamaan Dirac tetaplah persamaan Dirac.
Agnus Dei, qui tollis peccata mundi.
