Kula Nuwun.
\section{Jarak Rata-Rata Dua Buah Objek Geometris}
Pada kesempatan ini, saya akan menerangkan konsep jarak rata-rata dua buah objek geometris.
Andaikan ada dua buah objek di $\mathbb{R}^3$, yaitu $A := \{\vec{r}_1, \cdots, \vec{r}_n\}$ dan $A' := \{\vec{r}'_1, \cdots, \vec{r}'_{n'}\}$ di mana titik $\vec{r}_j$ bermassa $m_j$ untuk semua $j \in \{1, \cdots, n\}$, dan titik $\vec{r}'_{j'}$ bermassa $m'_{j'}$ untuk semua $j' \in \{1, \cdots, n'\}$. Jarak euklidean rata-rata objek $A$ terhadap objek $A'$ tentu saja adalah
\[ \delta = \frac{\sum_{j=1}^n\sum_{j'=1}^{n'} |\vec{r}_j - \vec{r}'_{j'}|m_jm'_{j'}}{\sum_{k=1}^n m_k \sum_{k'=1}^{n'} m'_{k'}}. \]
Untuk agihan kontinyu, apabila terdapat dua buah objek, yaitu $M$ dan $M'$ sedemikian untuk setiap $\vec{r} \in M$ bermassa $dm$, dan untuk setiap $\vec{r}' \in M'$ bermassa $dm'$, maka jarak eukidean rata-rata antara objek $M$ dan $M'$ adalah
\[ \delta = \frac{\int_M\int_{M'}|\vec{r} - \vec{r}'|dm'dm}{\int_M dm \int_{M'}dm'}. \]
Contoh penerapannya adalah sebagai berikut. Apabila ada sebuah penggal garis lurus di ruang $\mathbb{R}^3$, yaitu
\[ S := \{(0, 0, z) ~|~ z \in [0, L]\} \]
di mana $L \in \mathbb{R}^+$, yang mana rapat massanya seragam. Tentu saja jarak euklidean rata-rata objek $S$ terhadap dirinya sendiri adalah $\delta$.
\[ \delta = \frac{1}{L^2}\int_0^L\int_0^L |z - z'|dz\,dz'. \]
\[ \delta = \frac{1}{2L^2}\int_0^L (z - z')^2\operatorname{sgn}(z - z')|_0^L dz'. \]
\[ \delta = \frac{1}{2L^2}\int_0^L \left((L - z')^2\operatorname{sgn}(L - z') - z'^2\operatorname{sgn}(-z')\right)dz'. \]
\[ \delta = \frac{1}{2L^2}\left(-\int_0^L (z' - L)^2\operatorname{sgn}(z' - L)dz' + \int_0^L z'^2\operatorname{sgn}z'\,dz'.\right). \]
\[ \delta = \frac{1}{6L^2}\left(-(z' - L)^3\operatorname{sgn}(z' - L)|_0^L + z'^3\operatorname{sgn}z'|_0^L\right). \]
\[ \delta = \frac{1}{6L^2}\left((-L)^3\operatorname{sgn}(-L) + L^3\operatorname{sgn}L\right). \]
\[ \delta = \frac{1}{6L^2}(L^3 + L^3) = \frac{L}{3}. \]
Jadi, jarak euklidean rata-rata ruas garis $S$ tersebut terhadap dirinya sendiri adalah $L/3$.
Berkah Dalem Gusti.
