Kuliah Fisika Matematika Lanjutan UKRIM

[Roni]

Gloria in excelsis Deo.

Ini semua berasal dari definisi fungsi gamma $\Gamma$, yaitu
\[ \Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x - 1}e^{-t}dt \]
untuk semua $x \in \mathbb{R}$ yang bukan nol dan bukan bilangan bulat negatif.

Dari definisi ini, kita dapat mencari nilai fungsi gamma untuk bilangan-bilangan istimewa, misalnya bilangan bulat positif dan bilangan setengahan, yaitu $\pm 1/2, \pm 3/2, \pm 5/2, \cdots$.

Di sini, telah diterapkan rumus integral parsial, yaitu $\int u\,dv = uv - \int v\,du + C$ dan sistem koordinat polar datar dua-dimensi.

Benedictus qui venit in nomine Domini.

[Roni]

Shalom aleichem.

Di sini, telah dipakai rumus integral parsial.  Dari rumus ini, diperoleh rumus
\[ \int f(x)g(x)dx = \sum_{j = 0}^\infty f^{(j)}(x)g^{(-j - 1)}(x) + C \]
di mana $f^{(j)}(x) := d^jf(x)/dx^j$.

Selain itu, juga diterapkan rumus
\[ \frac{d^j}{dx^j}x^n = \frac{n!}{(n - j)!}x^{n - j}. \]

Sayonara zetsubou sensei.

[Roni]

Kula Nuwun.

Salah satu definisi fungsi Beta $B$ adalah
\[ B(x, y) := \int_0^1 t^{x - 1}(1 - t)^{y - 1}dt. \]
Dengan menukar $x$ dan $y$ pada ungkapan tersebut, serta dengan melakukan penggantian variabel, kita peroleh hubungan istimewa, yaitu
\[ B(y, x) = B(x, y). \]

Syukur kepada Allah.

[Roni]

Bismillahirrahmanirrahim.

Fungsi $\operatorname{gd}$ itu biasa dikenal sebagai Gudermanian yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga
\[ \ln(\sec\operatorname{gd} w + \tan\operatorname{gd} w) = w. \]
Di sini, telah dipakai identitas trigonometri, misalnya $\sec^2\alpha = 1 + \tan^2\alpha$, dan sebagainya.  Selain itu, di sini, telah digunakan identitas fungsi-fungsi hiperbolik, misalnya $\cosh u := (e^u + e^{-u})/2$ dan $\sinh u := (e^u - e^{-u})/2$ serta $\tanh u := (\sinh u)/(\cosh u)$.

Wassalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh.

[Roni]

Benedictus qui venit in nomine Domini.

Kita mengenal fungsi eliptik jenis pertama, yaitu
\[ F(k, \phi) := \int_0^\phi \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\theta}}. \]
Fungsi $\operatorname{amp}_k$ merupakan fungsi amplitudo yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga
\[ \operatorname{amp}_k F(k, \phi) = \phi. \]
Tentu saja, $F(0, \phi) = \phi$ sehingga $\operatorname{amp}_0 F(0, \phi) = \phi = F(0, \phi)$.

Ada fungsi eliptik yang lain, yaitu $\operatorname{dn}_k$ yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga
\[ \operatorname{dn}_k u := d\operatorname{amp}_k u/du \]
sehingga apabila $k = 0$ dan $u = F(0, \phi)$, maka
\[ \operatorname{dn}_0 F(0, \phi) = d\operatorname{amp}_0 F(0, \phi)/dF(0, \phi) \]
\[ = \frac{d\phi}{dF(0, \phi)} = \frac{1}{\frac{d}{d\phi}F(0, \phi)} = \frac{1}{d\phi/d\phi} = 1. \]

Haleluya.