Salam damai Kristus.
\section{Lintasan Bayangan Titik akibat Pencerminan oleh Garis Lurus yang Berputar}
Sebuah titik $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ yang dicerminkan secara aktif oleh sebuah garis lurus $L(\alpha) := \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 ~|~ y = x\tan\alpha \}$, di mana $\alpha \in \mathbb{R}$ akan mengalami transformasi ke titik $(x', y') \in \mathbb{R}^2$ sedemikian
\[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos2\alpha & \sin2\alpha \\ \sin2\alpha & -\cos2\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \]
sehingga
\[ x' = x\cos2\alpha + y\sin2\alpha, \]
\[ y' = -y\cos2\alpha + x\sin2\alpha. \]
Apabila garis $L(\alpha)$ tersebut diputar dengan sumbu putar melalui titik $(0, 0)$ dan tegak lurus bidang $\mathbb{R}^2$, maka bayangan titik $(x', y')$ tersebut juga akan bergerak. Untuk mengetahui bentuk lintasan geraknya, kita dapat mengeliminasi $\alpha$ dari kedua persamaan terakhir tersebut. Ternyata, kita peroleh
\[ x'^2 + y'^2 = x^2 + y^2 \]
yang dinyatakan oleh notasi pembentuk himpunan menjadi
\[ P(x, y) := \{ (x', y') \in \mathbb{R}^2 ~|~ x'^2 + y'^2 = x^2 + y^2 \}. \]
Ternyata, $P(x, y)$ berbentuk lingkaran dengan jari-jari $R := \sqrt{x^2 + y^2}$ dan pusat $(0, 0)$.
Benedictus qui venit in nomine Domini.
