Wa'alaikumsalam warahmatullahi wabarakatuh.
\section{Hukum Fisika untuk Model Bumi Datar}
Hukum fisika untuk model bumi datar tentu berbeda dengan hukum fisika untuk model bumi bulat berotasi. Contohnya adalah hukum gravitasi dan hukum pembiasan cahaya. Untuk memperoleh hukum fisika pada bumi datar dapat dilakukan dengan cara melakukan transformasi koordinat bumi datar ke koordinat bumi bulat berotasi, kemudian berlakukan hukum fisika yang telah diakui keabsahannya dalam model bumi bulat berotasi, kemudian lakukan transformasi balik koordinat bumi bulat berotasi yang berkaitan dengan hukum fisika tersebut menjadi koordinat bumi datar yang berkaitan dengan hukum fisika tersebut. Transformasi koordinatnya adalah sebagai berikut.
Misalkan dalam sistem koordinat Cartesian, pusat bumi bulat berotasi ada di titik $(0, 0, 0)\in\mathbb{R}^3$, serta posisi suatu titik $P$ adalah $(x, y, z)\in\mathbb{R}^3$, maka posisi $P$ dalam kerangka acuan bumi bulat yang berotasi dengan frekuensi sudut $\omega\in\mathbb{R}$ adalah $(x', y', z')\in\mathbb{R}^3$ pada waktu $t\in\mathbb{R}$ sedemikian rupa sehingga
\[ x' = x\cos\omega t + y\sin\omega t, ~~~~~ y' = -x\sin\omega t + y\cos\omega t, ~~~~~ z' = z. \]
Apabila dalam kerangka acuan bumi bulat yang berotasi, posisi $P$ dalam koordinat polar bola adalah $(r, \theta, \phi)$, maka
\[ r = \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2}, ~~~~~ \theta = \arctan_2(z', \sqrt{x'^2 + y'^2}), ~~~~~ \phi = \arctan_2(x', y'). \]
Dengan menggunakan proyeksi stereografis terhingga, posisi $P$ menurut model bumi datar adalah $(X, Y, Z)\in\mathbb{R}^3$ sedemikian rupa sehingga
\[ X = \mathcal{R}\tanh(\tan(\theta/2))\cos\phi, ~~~~~ Y = \mathcal{R}\tanh(\tan(\theta/2))\sin\phi, ~~~~~ Z = Z_0\ln(r/R) \]
di mana $\mathcal{R}\in\mathbb{R}^+$ adalah jari-jari bumi datar, $Z_0\in\mathbb{R}^+$ adalah tetapan kesebandingan yang berdimensi panjang, dan $R\in\mathbb{R}^+$ adalah jari-jari bumi bulat.
Pemetaan $(x, y, z) \mapsto (X, Y, Z)$ merupakan transformasi koordinat bumi bulat berotasi ke koordinat bumi datar.
Transformasi koordinat bumi datar ke koordinat bumi bulat berotasi, yaitu $(X, Y, Z) \mapsto (x, y, z)$, adalah
\[ \theta = 2\tan^{-1}(\tanh^{-1}(\sqrt{X^2 + Y^2}/\mathcal{R})), ~~~~~ \phi = \arctan_2(X, Y), ~~~~~ r = Re^{Z/Z_0}, \]
\[ x' = r\sin\theta\cos\phi, ~~~~~ y' = r\sin\theta\sin\phi, ~~~~~ z' = r\cos\theta, \]
\[ x = x'\cos\omega t - y'\sin\omega t, ~~~~~ y = x'\sin\omega t + y'\cos\omega t, ~~~~~ z = z'. \]
Jadi, untuk memperoleh hukum fisika pada model bumi datar, mula-mula kita lakukan transformasi $(X, Y, Z) \mapsto (x, y, z)$, kemudian kita berlakukan hukum fisika bumi bulat berotasi, kemudian kita transformasikan hukum fisika tersebut menurut $(x, y, z) \mapsto (X, Y, Z)$. Dengan demikian kita telah memperoleh hukum fisika untuk bumi datar.
Berkah Dalem Gusti.
