Namo Buddhaya.
\section{Medan Listrik akibat Muatan Berbentuk Kulit Silinder}
Andaikan di ruang $\mathbb{R}^3$ ada sebuah muatan yang berbentuk kulit silinder dengan rapat muatan luasan $\sigma \in \mathbb{R}$ yang seragam, yaitu
\[ C(R, a, b) := \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ x^2 + y^2 = R^2, ~ a < z < b\} \]
di mana $R \in \mathbb{R}^+$ adalah jari-jari $C(R, a, b)$, $a, b \in \mathbb{R}$, dan $a < b$.
Tentu saja, posisi titik pada $C(R, a, b)$ adalah
\[ \vec{r}' := \hat{x}R\cos\phi' + \hat{y}R\sin\phi' + \hat{z}z' \]
di mana $\hat{x} := (1, 0, 0)$, $\hat{y} := (0, 1, 0)$, $\hat{z} := (0, 0, 1)$, $\phi' \in \{0\}\cup(0, 2\pi)$, dan $z' \in (a, b)$.
Posisi titik di ruang $\mathbb{R}^3$ adalah
\[ \vec{r} := \hat{x}l\cos\phi + \hat{y}l\sin\phi + \hat{z}z \]
di mana $l \in \{0\}\cup\mathbb{R}^+$, $\phi \in \{0\}\cup(0, 2\pi)$, dan $z \in \mathbb{R}$, sehingga
\[ \vec{r} - \vec{r}' = \hat{x}(l\cos\phi - R\cos\phi') + \hat{y}(l\sin\phi - R\sin\phi') + \hat{z}(z - z') \]
lalu
\[ |\vec{r} - \vec{r}'|^2 = l^2 + R^2 - 2lR\cos(\phi - \phi') + (z - z')^2. \]
Medan listrik di titik $\vec{r}$ akibat muatan $C(R, a, b)$ adalah
\[ \vec{E} = \frac{\sigma R}{4\pi\epsilon_0}\int_a^b \int_0^{2\pi} \frac{\vec{r} - \vec{r}'}{|\vec{r} - \vec{r}'|^3}d\phi' dz. \]
\[ \vec{E} = \frac{\sigma R}{4\pi\epsilon_0}\int_a^b \int_0^{2\pi} \frac{\hat{x}(l\cos\phi - R\cos\phi') + \hat{y}(l\sin\phi - R\sin\phi') + \hat{z}(z - z')}{(l^2 + R^2 - 2lR\cos(\phi - \phi') + (z - z')^2)^{3/2}}d\phi' dz. \]
Karena integral rangkap terakhir ini sulit untuk diselesaikan secara analitik, maka kita ambil kasus khusus, yaitu $l = 0$, sehingga
\[ \vec{E} = \frac{\sigma R}{4\pi\epsilon_0}\int_a^b \int_0^{2\pi} \frac{-\hat{x}R\cos\phi' - \hat{y}R\sin\phi' + \hat{z}(z - z')}{(R^2 + (z - z')^2)^{3/2}}d\phi' dz'. \]
\[ \vec{E} = \frac{\sigma R}{2\epsilon_0}\hat{z}\int_a^b \frac{z - z'}{(R^2 + (z - z')^2)^{3/2}}dz'. \]
Apabila $z - z' = R\tan\alpha$, maka $dz' = -R\sec^2\alpha\,d\alpha$, sehingga
\[ \vec{E} = -\frac{\sigma R}{2\epsilon_0}\hat{z}\int_{\alpha_a}^{\alpha_b} \frac{R\tan\alpha}{R^3\sec^3\alpha}R\sec^2\alpha\,d\alpha \]
di mana $\tan\alpha_a := (z - a)/R$ dan $\tan\alpha_b := (z - b)/R$.
\[ \vec{E} = -\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\hat{z}\int_{\alpha_a}^{\alpha_b} \sin\alpha\,d\alpha = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}\hat{z}(\cos\alpha_b - \cos\alpha_a). \]
\[ \vec{E} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}\hat{z}\left(\frac{R}{\sqrt{R^2 + (z - b)^2}} - \frac{R}{\sqrt{R^2 + (z - a)^2}}\right). \]
Apabila $a \to -\infty$ dan $b \to \infty$, maka tentu saja $\vec{E} = \vec{0}$ sesuai dengan yang diharapkan.
Sampai jumpa lagi.
