Namo amitabha.
\section{Medan Magnet akibat Arus Berbentuk Ruas Garis}
Andaikan di ruang $\mathbb{R}^3$ ada sebuah arus berbentuk ruas garis berarah, yaitu
\[ L(a, b) := \{(0, 0, z) ~|~ a < z < b\} \]
yang mengalir dalam arah $\hat{z} := (0, 0, 1)$, di mana $a, b \in \mathbb{R}$ dan $a < b$. Tentu saja, posisi titik pada $L(a, b)$ adalah $\vec{r}' := z'\hat{z}$ dengan $z' \in (a, b)$.
Posisi sebarang titik di ruang $\mathbb{R}^3$ adalah
\[ \vec{r} := \hat{x}l\cos\phi + \hat{y}l\sin\phi + \hat{z}z \]
di mana $\hat{x} := (1, 0, 0)$, $\hat{y} := (0, 1, 0)$, $l \in \{0\}\cup\mathbb{R}^+$, $\phi \in \{0\}\cup(0, 2\pi)$, dan $z \in \mathbb{R}$.
Tentu saja,
\[ \vec{r} - \vec{r}' = \hat{x}l\cos\phi + \hat{y}l\sin\phi + \hat{z}(z - z') \]
sehingga $|\vec{r} - \vec{r}'|^2 = l^2 + (z - z')^2$.
Medan magnet di titik $\vec{r}$ tentu saja adalah
\[ \vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\int_a^b \frac{dz'\hat{z}\times(\vec{r} - \vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|^3}. \]
di mana $\mu_0$ adalah permeabilitas magnet di ruang hampa.
Tentu saja, $\hat{z}\times(\vec{r} - \vec{r}') = \hat{y}l\cos\phi - \hat{x}l\sin\phi$.
\[ \vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}(\hat{y}l\cos\phi - \hat{x}l\sin\phi)\int_a^b \frac{dz'}{[l^2 + (z - z')^2]^{3/2}}. \]
Andaikan $z - z' = l\tan\alpha$ maka $dz' = -l\sec^2\alpha\,d\alpha$ sehingga
\[ \vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}(\hat{y}l\cos\phi - \hat{x}l\sin\phi)\int_{\alpha_a}^{\alpha_b} \frac{-l\sec^2\alpha\,d\alpha}{l^3\sec^3\alpha} \]
di mana $\tan\alpha_a := (z - a)/l$ dan $\tan\alpha_b := (z - b)/l$.
\[ \vec{B} = -\frac{\mu_0}{4\pi l}(\hat{y}\cos\phi - \hat{x}\sin\phi)\int_{\alpha_a}^{\alpha_b} \cos\alpha\,d\alpha. \]
\[ \vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi l}(\hat{y}\cos\phi - \hat{x}\sin\phi)(\sin\alpha_a - \sin\alpha_b). \]
\[ \vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi l}(\hat{y}\cos\phi - \hat{x}\sin\phi)\left(\frac{z - a}{\sqrt{l^2 + (z - a)^2}} + \frac{b - z}{\sqrt{l^2 + (z - b)^2}}\right). \]
Jika $a \to -\infty$ dan $b \to \infty$, maka
\[ \vec{B} = \frac{\mu_0}{2\pi l}(\hat{y}\cos\phi - \hat{x}\sin\phi) \]
sesuai yang diharapkan.
Syukur kepada Allah.
