Salam sejahtera.
\section{Perkalian Silang antara Dua Buah Vektor yang Tegak Lurus dengan Sebuah Vektor yang Lain}
Andaikan untuk sebuah vektor $\vec{A} \in \mathbb{R}^3$, didefinisikan $\vec{A}_{//} := \vec{A}\cdot\hat{V}\hat{V}$ dan $\vec{A}_\bot := \vec{A} - \vec{A}_{//}$, di mana $\hat{V} := \vec{V}/|\vec{V}|$ untuk setiap $\vec{V} \in \mathbb{R}^3$.
Untuk setiap $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R}^3$, berlaku
\[ (\vec{a}_\bot\times\vec{b}_\bot)_{//} = (\vec{a}_\bot\times\vec{b}_\bot)\cdot\hat{V}\hat{V}. \]
Andaikan didefinisikan $[\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}] := (\vec{x}\times\vec{y})\cdot\vec{z}$ untuk setiap $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in \mathbb{R}^3$, sehingga
\[ (\vec{a}_\bot\times\vec{b}_\bot)_{//} = [\vec{a}_\bot, \vec{b}_\bot, \hat{V}]\hat{V}. \]
Ada teorema yang mengatakan bahwa
\[ [\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}]\vec{s} = (\vec{p}\cdot\vec{s})(\vec{q}\times\vec{r}) + (\vec{q}\cdot\vec{s})(\vec{r}\times\vec{p}) + (\vec{r}\cdot\vec{s})(\vec{p}\times\vec{q}) \]
untuk setiap $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}, \vec{s} \in \mathbb{R}^3$ sehingga
\[ (\vec{a}_\bot\times\vec{b}_\bot)_{//} = (\vec{a}_\bot\cdot\hat{V})(\vec{b}_\bot\times\hat{V}) + (\vec{b}_\bot\cdot\hat{V})(\hat{V}\times\vec{a}_\bot) + (\hat{V}\cdot\hat{V})(\vec{a}_\bot\times\vec{b}_\bot). \]
Karena $\vec{a}_\bot\cdot\hat{V} = \vec{b}_\bot\cdot\hat{V} = 0$ dan $\hat{V}\cdot\hat{V} = 1$, maka
\[ (\vec{a}_\bot\times\vec{b}_\bot)_{//} = \vec{a}_\bot\times\vec{b}_\bot. \]
Kesamaan terakhir ini sangat penting dalam perumusan transformasi Lorentz untuk medan elektromagnetik.
Sekian dan terima kasih.
