Shalom aleichem.
\section{Membalik Kaedah Penjumlahan Kecepatan Einstein}
Kaedah penjumlahan kecepatan Einstein adalah
\[ \vec{v}' = \frac{\vec{v} + (\Gamma - 1)\vec{v}_{//} - \Gamma\vec{V}}{\Gamma(1 - \vec{v}\cdot\vec{V}/c^2)} \]
di mana $\vec{v} \in \mathbb{R}^3$ adalah kecepatan titik $P$ menurut kerangka $O$, $\vec{V} \in \mathbb{R}^3$ adalah kecepatan kerangka $O'$ menurut kerangka $O$, $\vec{v}' \in \mathbb{R}^3$ adalah kecepatan titik $P$ menurut kerangka $O'$, $\Gamma := 1/\sqrt{1 - |\vec{V}|^2/c^2}$ adalah faktor Lorentz, $c$ adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa, $v_{//} := \vec{v}\cdot\hat{V}$, $\hat{V} := \vec{V}/V$, $V := |\vec{V}|$, dan $\vec{v}_{//} := v_{//}\hat{V}$.
Komponen sejajarnya adalah
\[ v'_{//} = \frac{v_{//} - V}{1 - v_{//}V/c^2} \]
di mana $v'_{//} := \vec{v}'\cdot\hat{V}$.
Persamaan terakhir menjadi
\[ v'_{//}(1 - v_{//}V/c^2) = v_{//} - V \]
alias
\[ v'_{//} + V = v_{//}(1 + v'_{//}V/c^2) \]
alias
\[ v_{//} = \frac{v'_{//} + V}{1 + v'_{//}V/c^2} \]
alias
\[ \vec{v}_{//} = \frac{\vec{v}_{//} + \vec{V}}{1 + \vec{v}'\cdot\vec{V}/c^2}. \]
Komponen tegak lurusnya adalah
\[ \vec{v}'_\bot = \frac{\vec{v}_\bot}{\Gamma(1 - v_{//}V/c^2)} \]
di mana $\vec{v}_\bot := \vec{v} - \vec{v}_{//}$ dan $\vec{v}'_\bot := \vec{v}' - \vec{v}'_{//}$.
Selanjutnya
\[ N := 1 - \frac{v_{//}V}{c^2} = 1 - \frac{V}{c^2}\frac{v'_{//} + V}{1 + v'_{//}V/c^2}. \]
\[ N = \frac{(c^2 + v'_{//}V) - V(v'_{//} + V)}{c^2 + v'_{//}V}. \]
\[ N = \frac{c^2 - V^2}{c^2 + v'_{//}V}. \]
\[ N = \frac{1 - V^2/c^2}{1 + v'_{//}V/c^2}. \]
\[ N = \frac{1}{\Gamma^2(1 + v'_{//}V/c^2)}. \]
\[ \Gamma N = \frac{1}{\Gamma(1 + v'_{//}V/c^2)} \]
sehingga
\[ \vec{v}'_\bot = \vec{v}_\bot/(\Gamma N) = \vec{v}_\bot\Gamma(1 + v'_{//}V/c^2) \]
alias
\[ \vec{v}_\bot = \frac{\vec{v}'_\bot}{\Gamma(1 + \vec{v}'\cdot\vec{V}/c^2)}. \]
Oleh karena itu,
\[ \vec{v} = \vec{v}_{//} + \vec{v}_\bot \]
alias
\[ \vec{v} = \frac{\vec{v}' + (\Gamma - 1)\vec{v}'_{//} + \Gamma\vec{V}}{\Gamma(1 + \vec{v}'\cdot\vec{V}/c^2)}. \]
Dalam Nama Bapa dan Putera dan Roh Kudus. Amin.
