Kategori dan Fungtor

[cotrans]

Sanctus, Sanctus, Dominus Deus Sabaoth.

\section{Kategori}

Sebuah kategori terdiri dari koleksi anggota, yang disebut objek, dan untuk sebarang dua buah objek $A$ dan $B$, himpunan $\operatorname{Mor}(A, B)$ dari anggotanya, disebut morfisme dari $A$ ke $B$, sedemikian rupa sehingga apabila diberikan sebarang morfisme $f \in \operatorname{Mor}(A, B)$ dan sebarang morfisme $g \in \operatorname{Mor}(B, C)$, maka kompositnya, yaitu $g\circ f \in \operatorname{Mor}(A, C)$ didefinisikan.  Lebih lanjut lagi, komposisi dari morfisme dikehendaki memenuhi dua sifat, yaitu

(i) aksioma identitas: untuk setiap objek $A$, terdapat morfisme identitas $1_A \in \operatorname{Mor}(A, A)$ sedemikian rupa sehingga untuk sebarang $f \in \operatorname{Mor}(A, B)$ dan $g \in \operatorname{Mor}(B, A)$, maka
\[ f\circ 1_A = f ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ 1_A\circ g = g; \]

(ii) aksioma asosiatif: untuk $f \in \operatorname{Mor}(A, B)$, $g \in \operatorname{Mor}(B, C)$, dan $h \in \operatorname{Mor}(C, D)$, maka
\[ h\circ(g\circ f) = (h\circ g)\circ f. \]

Definisi 10.1.

Dua buah objek $A$ dan $B$ dalam sebuah kategori dikatakan isomorfis jika terdapat morfisme $f \,:\, A \to B$ dan $g \,:\, B \to A$ sedemikian rupa sehingga
\[ g\circ f = 1_A ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ f\circ g = 1_B. \]
Dalam hal ini, $f$ dan $g$ disebut isomorfisme.

Notasi biasa untuk isomorfisme adalah "\approxeq".  Jadi, $A \approxeq B$ dapat berarti, misalnya isomorfisme grup, isomorfisme ruang vektor, homeomorfisme, atau difeomorfisme, yang bergantung pada kategori dan konteksnya.

Benedictus qui venit in nomine Domini.

[cotrans]

Terpujilah Kristus.

\section{Fungtor}

Definisi 10.2.

Fungtor kovarian $\mathcal{F}$ dari sebuah kategori $\mathcal{C}$ ke kategori yang lain $\mathcal{D}$ merupakan pemetaan yang menghubungkan setiap objek $A$ di $\mathcal{C}$, sebuah objek $\mathcal{F}(A)$ di $\mathcal{D}$, dan ke setiap morfisme $f \,:\, A \to B$, morfisme $\mathcal{F}(f) \,:\, \mathcal{F}(A) \to \mathcal{F}(B)$ sedemikian rupa sehingga

(i) $\mathcal{F}(1_A) = 1_{\mathcal{F}(A)}$,

(ii) $\mathcal{F}(f\circ g) = \mathcal{F}(f)\circ\mathcal{F}(g)$.

Proposisi 10.3.

Andaikan $\mathcal{F} \,:\, \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ adalah fungtor dari kategori $\mathcal{C}$ ke kategori $\mathcal{D}$.
Jika $f \,:\, A \to B$ adalah isomorfisme di $\mathcal{C}$, maka $\mathcal{F}(f) \,:\, \mathcal{F}(A) \to \mathcal{F}(B)$ adalah isomorfisme di $\mathcal{D}$.

Jika dalam definisi fungtor kovarian, kita membalik arah dari panah
untuk morfisme $\mathcal{F}(f)$, maka kita menentukan fungtor kontravarian.  Lebih jelasnya, definisinya adalah sebagai berikut.

Definisi 10.4.

Fungtor kontravarian $\mathcal{F}$ dari kategori $\mathcal{C}$ ke kategori yang lain $\mathcal{D}$ merupakan pemetaan yang menghubungkan setiap objek $A$ di $\mathcal{C}$, sebuah objek $\mathcal{F}(A)$ di $\mathcal{D}$, dan setiap morfisme $f \,:\, A \to B$, sebuah morfisme $\mathcal{F}(f) \,:\, \mathcal{F}(B) \to \mathcal{F}(A)$ sedemikian rupa sehingga

(i) $\mathcal{F}(1_A) = 1_{\mathcal{F}(A)}$;

(ii) $\mathcal{F}(f\circ g) = \mathcal{F}(g)\circ\mathcal{F}(f)$.

Arigatou ikimono gakari.

[cotrans]

Agnus Dei, qui tollis peccata mundi.

\section{Fungtor Jodoh dan Fungtor Multi-Kovektor}

Andaikan $V$ adalah ruang vektor riil.  Sebut bahwa ruang jodohnya $V^\vee$ adalah ruang vektor dari semua fungsional linier pada $V$, yaitu fungsi linier $a \,:\, V \to R$.  Kita juga menuliskan
\[V^\vee = \operatorname{Hom}(V, \mathbb{R}). \]
Jika $V$ adalah ruang vektor berdimensi terhingga dengan basis $\{ e_1, \cdots, e_n \}$, maka ruang jodohnya $V^\vee$ memiliki basis yang merupakan koleksi dari fungsional linier $\{ \alpha^1, \cdots, \alpha^n \}$ yang didefinisikan oleh
\[ \alpha^i(e_j) = {\delta^i}_j ~~~~~ \text{dengan $1 \leq i, j \leq n$}. \]
Mengingat fungsi linier pada $V$ ditentukan oleh apa yang dikerjakan pada basis dari $V$, maka himpunan persamaan ini mendefinisikan $\alpha^i$ secara tunggal.

Pemetaan linier $L \,:\, V \to W$ dari ruang vektor menginduksi pemetaan linier $L^\vee$, yang disebut sebagai jodoh dari $L$, sebagai berikut.  Untuk setiap fungsional linier $\alpha \,:\, W \to \mathbb{R}$, pemetaan jodoh $L^\vee$ menghubungkan fungsional linier
\[ V \overset{L}{\to} W \overset{\alpha}{\to} \mathbb{R}. \]
Jadi, pemetaan jodoh $L^\vee \,:\, W^\vee \to V^\vee$ diberikan oleh
\[ L^\vee(\alpha) = \alpha\circ L ~~~~~ \text{untuk $\alpha \in W^\vee$}. \]
Perlu dicatat bahwa jodoh dari $L$ membalik arah panah tersebut.

Proposisi 10.5 (Sifat Fungsional dari Jodoh).

Anggaplah $V$, $W$, dan $S$ merupakan ruang vektor riil.

(i) Jika $1_V \,:\, V \to V$ adalah pemetaan identitas pada $V$, maka $1^\vee_V \,:\, V^\vee \to V^\vee$ adalah pemetaan identitas pada $V^\vee$.

(ii) Jika $f \,:\, V \to W$ dan $g \,:\, W \to S$ adalah pemetaan linier, maka $(g\circ f)^\vee = f^\vee\circ g^\vee$.

Berdasarkan proposisi ini, bangunan jodoh $\mathcal{F} \,:\, (~) \to (~)^\vee$ merupakan fungtor kontravarian dari kategori ruang vektor ke dirinya sendiri, yaitu bahwa untuk $V$ sebuah ruang vektor riil,
$\mathcal{F}(V) = V^\vee$ dan untuk $f \in \operatorname{Hom}(V, W)$, $\mathcal{F}(f) = f^\vee \in \operatorname{Hom}(W^\vee, V^\vee)$. Konsekuensinya, jika $f \,:\, V \to W$ adalah isomorfisme, maka jodohnya juga $f^\vee \,:\, W^\vee \to V^\vee$.

Tetapkanlah bilangan bulat positif $k$.  Untuk sebarang pemetaan linier $L \,:\, V \to W$ dari ruang vektor, definisikanlah pemetaan tarikan balik $L^* \,:\, A_k(W) \to A_k(V)$ sebagai
\[ (L^*f)(v_1, \cdots, v_k) = f(L(v_1), \cdots, L(v_k)) \]
untuk $f \in A_k(W)$ dan $v_1, \cdots, v_k \in V$.  Dari definisi tersebut, mudah dilihat bahwa $L^*$ adalah pemetaan linier, yaitu bahwa $L^*(af + bg) = aL^*f + bL^*g$ untuk $a, b \in \mathbb{R}$ dan $f, g \in A_k(W)$.

Proposisi 10.6.

Tarikan balik dari kovektor oleh pemetaan linier memenuhi dua sifat fungsional.

(i) Jika $1_V \,:\, V \to V$ adalah pemetaan identitas dari $V$, maka $1^*_V = 1_{A_k(V)}$, yang merupakan pemetaan identitas pada $A_k(V)$.

(ii) Jika $K \,:\, U \to V$ dan $L \,:\, V \to W$ adalah pemetaan linier dari ruang vektor, maka
\[ (L\circ K)^* = K^*\circ L^* \,:\, A_k(W) \to A_k(U). \]

Haleluya.