Kula Nuwun.
\section{Relasi Kontinyuitas antar-Objek Geometris}
Pada kesempatan ini, saya hendak memperkenalkan relasi kontinyuitas antar-objek geometris.
Kita telah mengetahui relasi ekuivalen, yaitu $\sim$, pada himpunan $S$, yang memiliki sifat reflektif ($a \sim a$), simetris (jika $a \sim b$ maka $b \sim a$), dan transitif (jika $a \sim b$ dan $b \sim c$, maka $a \sim c$).
Di sini, akan dipilih relasi ekuivalen kontinyuitas $\sim$ antara dua buah ruang topologis (objek geometris), yaitu bahwa $A \sim B$ apabila terdapat sedikitnya sebuah pemetaan bijektif yang kontinyu dari ruang topologis $A$ ke ruang topologis $B$ atau dari ruang topologis $B$ ke ruang topologis $A$, di mana invers dari pemetaan tersebut tidak harus kontinyu.
Saya akan memperkenalkan sebuah operasi penjumlahan $+$ untuk dua buah ruang topologis, yaitu bahwa
\[ A + B := (A\times \{b\})\cup(\{a\}\times B) \]
sedemikian $A\cap\{a\} = \emptyset$ atau $B\cap\{b\} = \emptyset$. Dengan demikian, $B + A \sim A + B$.
Selanjutnya didefinisikan perkalian sebuah ruang topologis $A$ dengan bilangan asli $n$, yaitu
\[ nA := A_1 + \cdots + A_n \]
di mana $A_1 = \cdots = A_n = A$.
Selanjutnya didefinisikan perkalian antara dua ruang topologis, yaitu $AB := A\times B$, dan pangkat dari ruang topologis, yaitu $A^n := A_1\times\cdots\times A_n$ di mana $A_1 = \cdots = A_n = A$.
Dengan demikian, $BA \sim AB$, $A + \emptyset \sim A$, $A\{0\} \sim A$, dan $A\emptyset \sim \emptyset$. Di sini, $\emptyset$ adalah himpunan kosong.
Didefinisikan sebuah lingkaran atau permukaan bola $S^n := \{(x_0, \cdots, x_n) \in \mathbb{R}^{n + 1} ~|~ x_0^2 + \cdots + x_n^2 = 1\}$, sebuah cakram $D^n := \{(x_1, \cdots, x_n) \in \mathbb{R}^n ~|~ x_1^2 + \cdots + x_n^2 \leq 1\}$, dan sebuah torus $T^n := (S^1)^n$.
Terdapat beberapa teorema, yaitu $\mathbb{Z} + \mathbb{Z} \sim \mathbb{Z}$, $n\mathbb{Z} \sim \mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}^n \sim \mathbb{Z}$, $\mathbb{Z} + \{0\} \sim \mathbb{Z}$, $\mathbb{R} + \{0\} \sim S^1$, $2\mathbb{R} + \{0\} \sim \mathbb{R}$, $(n + 1)\mathbb{R} + n\{0\} \sim \mathbb{R}$, $2\mathbb{R}^2 + \mathbb{R} \sim \mathbb{R}^2$, $2\mathbb{R}^3 + \mathbb{R}^2 \sim \mathbb{R}^3$, $D^n + \{0\} \sim S^n$, dan $\mathbb{R}^n + S^{n - 1} \sim D^n$.
Ada pula teorema yang tidak disangka-sangka, misalnya $D^2 \sim \mathbb{R}^2$ dan $T^2 \sim S^1\mathbb{R}$. Pembuktiannya adalah sebagai berikut.
$D^2 \sim \mathbb{R}^2 + S^1$ $\sim \mathbb{R}^2 + \mathbb{R} + \{0\}$ $\sim 2\mathbb{R}^2 + 2\mathbb{R} + \{0\}$ $\sim 2\mathbb{R}^2 + \mathbb{R}$ $\sim \mathbb{R}^2$.
$T^2 = (S^1)^2$ $\sim (\mathbb{R} + \{0\})^2$ $\sim \mathbb{R}^2 + 2\mathbb{R} + \{0\}$ $\sim \mathbb{R}^2 + \mathbb{R}$ $\sim \mathbb{R}(\mathbb{R} + \{0\})$ $\sim \mathbb{R}S^1$ $\sim S^1\mathbb{R}$.
Teori ini belum mapan dan masih dalam tahap perkembangan.
Haleluya.
