Wa'alaikumsalam warahmatullahi wabarakatuh.
\section{Turunan Tingkat Pecahan}
Biasanya, turunan (derivatif) dari sebuah fungsi riil $f\,:\,\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ itu tingkatan turunannya selalu bilangan asli. Tetapi, pada kesempatan ini, saya hendak mendefinisikan turunan tingkat pecahan untuk fungsi $f$ tersebut.
Dari kalkulus diferensial, kita telah mengetahui bahwa
\[ \frac{d^j}{dx^j}(x^n) = \frac{n!}{(n - j)!}x^{n - j} \]
untuk setiap bilangan asli $j$ dan $n$.
Kali ini kaitan ini akan diperumum untuk beberapa bilangan riil $j$ dan $n$ dengan menggunakan fungsi gamma $\Gamma$ sedemikian $\Gamma(x) = (x - 1)!$, yaitu bahwa
\[ \frac{d^j}{dx^j}(x^n) = \frac{n!}{(n - j)!}x^{n - j} = \frac{\Gamma(n + 1)}{\Gamma(n - j + 1)}x^{n - j}. \]
Dengan memperderet-Taylor-kan fungsi $f$ tadi, kita peroleh
\[ f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\lim_{y\to 0}\frac{d^nf(y)}{dy^n}x^n \]
yang konvergen pada daerah tertentu. Turunan tingkat $j \in \mathbb{R}$ dari $f$ tersebut, tentu saja adalah
\[ \frac{d^j}{dx^j}f(x) = \sum_{n=0}^\infty \lim_{y\to 0}\frac{d^nf(y)}{dy^n}\frac{1}{(n - j)!}x^{n - j}. \]
Sebagai contoh, kita akan menghitung $d^{1/2}x/dx^{1/2}$, yaitu bahwa
\[ \frac{d^{1/2}x}{dx^{1/2}} = \frac{1!}{(1 - 1/2)!}x^{1 - 1/2} = \frac{1}{(1/2)!}x^{1/2}. \]
Karena $(1/2)! = \Gamma(3/2) = (1/2)\Gamma(1/2) = (1/2)\sqrt{\pi}$, maka
\[ \frac{d^{1/2}x}{dx^{1/2}} = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sqrt{x}. \]
Sekarang, kita hendak menghitung turunan tingkat negatif, yang sudah seharusnya merupakan anti-derivatif (integral) dari fungsi tersebut. Contohnya adalah sebagai berikut.
\[ \frac{d^{-1}(x^n)}{dx^{-1}} = \frac{n!}{(n + 1)!}x^{n + 1} = \frac{1}{n + 1}x^{n + 1} \]
sesuai yang kita harapkan.
Berkah Dalem Gusti.
