Kula Nuwun.
\section{Transportasi Paralel}
Andaikan ada sebuah medan vektor $\vec{A} := A^i\vec{e}_i \in \mathbb{R}^n$ pada sebuah ruang vektor berdimensi $n$, di mana telah digunakan kesepakatan penjumlahan Einstein untuk indeks berulang, serta $A^i \in \mathbb{R}$ bergantung pada koordinat umum $(q^1, \cdots, q^m) \in \mathbb{R}^m$ pada sebuah manifold berdimensi $m$ dengan $m \leq n$, dan $\vec{e}_i := \partial\vec{r}/\partial q^i$ adalah anggota basis kontravarian. Di sini, $\vec{r} \in \mathbb{R}^n$ adalah vektor posisi. Vektor $\vec{A}$ ini ber-transportasi paralel dengan syarat $d\vec{A} = \vec{0}$ alias
\[ \frac{\partial\vec{A}}{\partial q^i}dq^i = \vec{0} \]
alias
\[ \frac{\partial(A^j\vec{e}_j)}{\partial q^i} = \vec{0} \]
alias
\[ \frac{\partial A^j}{\partial q^i}\vec{e}_j + A^j\frac{\partial\vec{e}_j}{\partial q^i} = \vec{0} \]
alias
\[ \frac{\partial A^k}{\partial q^i}\vec{e}_k + A^j{\Gamma^k}_{ij}\vec{e}_k = \vec{0} \]
alias
\[ \frac{\partial A^k}{\partial q^i} + A^j{\Gamma^k}_{ij} = 0 \]
untuk setiap $k, i \in \{ 1, \cdots, m \}$, di mana didefinisikan lambang Christoffel ${\Gamma^k}_{ij} \in \mathbb{R}$ sedemikian rupa sehingga
\[ \frac{\partial\vec{e}_j}{\partial q^i} = {\Gamma^k}_{ij}\vec{e}_k. \]
Dengan mencari semua kemungkinan $A^k$ yang bergantung pada $(q^1, \cdots, q^m)$, serta dengan menyajikannya sebagai $\vec{A} = A^k\vec{e}_k$, maka diperoleh transportasi paralel untuk vektor $\vec{A}$.
Syukur kepada Allah.
