Shalom aleichem.
\section{Bukti Invariansi Kelajuan Lukson terhadap Sebarang Pengamat}
Lukson adalah partikel yang memiliki kelajuan sama dengan kelajuan cahaya dalam ruang hampa, yaitu $c$. Andaikan ada lukson berkecepatan $\vec{v} := c\hat{v} \in \mathbb{R}^3$ menurut titik pengamat $O$. Andaikan pula ada titik pengamat $O'$ yang bergerak dengan kecepatan $\vec{V} := V\hat{V} \in \mathbb{R}^3$ menurut $O$, di mana $V := |\vec{V}|$. Menurut $O'$, lukson tersebut berkecepatan
\[ \vec{v}' = \frac{\vec{v} + (\Gamma - 1)\vec{v}\cdot\hat{V}\hat{V} - \Gamma\vec{V}}{\Gamma(1 - \vec{v}\cdot\vec{V}/c^2)} \]
di mana $\Gamma := 1/\sqrt{1 - V^2/c^2}$ sehingga
\[ \vec{v}' = \frac{c\hat{v} + (\Gamma - 1)c\hat{v}\cdot\hat{V}\hat{V} - \Gamma V\hat{V}}{\Gamma(1 - V\hat{v}\cdot\hat{V}/c)}. \]
Oleh karena itu, $|\vec{v}'|^2$ $= [c^2$ $ + c^2(\Gamma^2 - 2\Gamma + 1)(\hat{v}\cdot\hat{V})^2$ $+ \Gamma^2V^2$ $+ 2c^2(\Gamma - 1)(\hat{v}\cdot\hat{V})^2$ $- 2c\Gamma V\hat{v}\cdot\hat{V}$ $- 2\Gamma(\Gamma - 1)cV\hat{v}\cdot\hat{V}]$ $/[\Gamma^2(1 - V\hat{v}\cdot\hat{V}/c)^2]$. Selanjutnya,
\[ |\vec{v}'|^2 = \frac{c^2 + c^2(\Gamma^2 - 1)(\hat{v}\cdot\hat{V})^2 + \Gamma^2V^2 - 2\Gamma^2cV\hat{v}\cdot\hat{V}}{\Gamma^2(1 - V\hat{v}\cdot\hat{V}/c)^2}. \]
Lalu, dengan membagi pembilang dan penyebut dengan $\Gamma^2$, diperoleh
\[ |\vec{v}'|^2 = \frac{c^2(1 - V^2/c^2) + V^2(\hat{v}\cdot\hat{V})^2 + V^2 - 2cV\hat{v}\cdot\hat{V}}{(c - V\hat{v}\cdot\hat{V})^2}c^2. \]
Kemudian, kita peroleh
\[ |\vec{v}'|^2 = \frac{c^2 + V^2(\hat{v}\cdot\hat{V})^2 - 2cV\hat{v}\cdot\hat{V}}{(c - V\hat{v}\cdot\hat{V})^2}c^2 = c^2. \]
Jadi, lukson akan teramati sebagai lukson oleh sebarang pengamat.
Syukur kepada Allah.
