Teknik Menggambar Perspektif secara Matematis

[cotrans]

Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh.

\section{Teknik Menggambar Perspektif secara Matematis}

Andaikan di ruang $\mathbb{R}^3$ ada sebuah titik $\vec{r} := (x, y, z) \in \mathbb{R}^3$.  Andaikan pula ada sebuah bidang gambar, yaitu
\[ P(X) := \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ x = X \} \]
di mana $X \in \mathbb{R}$, serta sebuah titik tinjau, yaitu $\vec{r}_0 := (x_0, y_0, z_0) \in \mathbb{R}^3$.

Seandainya ada sinar dari $\vec{r}$ menuju $\vec{r}_0$, maka sinar tersebut akan memotong $P(X)$ di titik $\vec{R} := (X, Y, Z) \in \mathbb{R}^3$.  Kita akan mencari titik potongnya.

Mula-mula,
\[ (\vec{r} - \vec{r}_0)\times(\vec{R} - \vec{r}_0) = \vec{0}. \]
alias
\[ \frac{X - x_0}{x - x_0} = \frac{Y - y_0}{y - y_0} = \frac{Z - z_0}{z - z_0} \]
alias
\[ Y = y_0 + (X - x_0)\frac{y - y_0}{x - x_0} ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ Z = z_0 + (X - x_0)\frac{z - z_0}{x - x_0}. \]
Pemetaan $(x, y, z) \mapsto (Y, Z)$ merupakan penggambaran perspektif pada bidang gambar.

Contohnya adalah sebagai berikut.

Andaikan ada sebuah lingkaran
\[ S^1(R) := \{ R(\cos\phi, \sin\phi, 0) ~|~ \phi \in \{0\}\cup(0, 2\pi) \} \]
di mana $R \in \mathbb{R}^+$ adalah jari-jarinya.

Andaikan kita ambil sebuah titik tinjau, yaitu $(x_0, 0, z_0)$, maka kita peroleh $x = R\cos\phi$, $y = R\sin\phi$, $z = 0$, dan $y_0 = 0$, sehingga
\[ Y = (X - x_0)\frac{R\sin\phi}{R\cos\phi - x_0} \]
dan
\[ Z = z_0 - (X - x_0)\frac{z_0}{R\cos\phi - x_0}. \]
Dari sini, $\phi$ akan dieliminasi untuk memperoleh bayangannya pada bidang $P(X)$.

Sekian dan terima kasih.

[cotrans]

Agnus Dei, qui tollis peccata mundi.

\section{Menentukan Kurva Pelukis dalam Teknik Menggambar Perspektif}

Andaikan di ruang $\mathbb{R}^3$ ada sebuah permukaan
\[ S(\varphi) := \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ \varphi(\vec{r}) = 0 \} \]
di mana $\varphi \,:\, \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ adalah sebarang pemetaan.  Andaikan pula, $\vec{r} := (x, y, z) \in S(\varphi)$.  Dalam teknik menggambar perspektif secara matematis, tentu ada sebuah bidang gambar, misalnya
\[ P(X) := \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ x = X \} \]
di mana $X \in \mathbb{R}$, serta sebuah titik tinjau, yaitu $\vec{r}_0 := (x_0, y_0, z_0) \in \mathbb{R}^3$.

Kurva pelukis dari $S(\varphi)$ didefinisikan secara intuitif sebagai
\[ R(\varphi, \vec{r}_0) := \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ (\vec{r} - \vec{r}_0)\cdot\nabla\varphi(\vec{r}) = 0 \}. \]

Sebagai contoh, kita akan menentukan kurva pelukis dari sebuah permukaan bola, yaitu
\[ S^2(R) := \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ x^2 + y^2 + z^2 = R^2 \} \]
dengan $R \in \mathbb{R}^+$ adalah jari-jari $S^2(R)$.  Karena $S^2(R)$ dianggap sebagai $S(\varphi)$, maka kita peroleh
\[ \varphi(\vec{r}) = x^2 + y^2 + z^2 - R^2. \]
Tentu saja,
\[ \nabla\varphi(\vec{r}) = 2(x\hat{x} + y\hat{y} + z\hat{z}) \]
di mana $\hat{x} := (1, 0, 0)$, $\hat{y} := (0, 1, 0)$, dan $\hat{z} := (0, 0, 1)$.

Dari persamaan $(\vec{r} - \vec{r}_0)\cdot\nabla\varphi(\vec{r}) = 0$, kita peroleh
\[ x(x - x_0) + y(y - y_0) + z(z - z_0) = 0 \]
alias
\[ x(x - x_0) + y(y - y_0) = z(z_0 - z). \]
Kita akan melakukan parameterisasi $R(\varphi, \vec{r}_0)$ dengan parameter $l \in \mathbb{R}\cup(i\mathbb{R})$ dan $\alpha \in \{0\}\cup(0, 2\pi)$.  Oleh karena itu,
\[ z(z_0 - z) = l^2, \]
\[ x(x - x_0) = l^2\cos^2\alpha, \]
\[ y(y - y_0) = l^2\sin^2\alpha. \]
Dari sini, kita peroleh
\[ z^2 - z_0z + l^2 = 0, \]
\[ x^2 - x_0x - l^2\cos^2\alpha = 0, \]
\[ y^2 - y_0y - l^2\sin^2\alpha = 0, \]
sehingga dari rumus abc, kita peroleh
\[ z = \frac{1}{2}\left(z_0 \pm \sqrt{z_0^2 - 4l^2}\right), \]
\[ x = \frac{1}{2}\left(x_0 \pm \sqrt{x_0^2 + 4l^2\cos^2\alpha}\right), \]
\[ y = \frac{1}{2}\left(y_0 \pm \sqrt{y_0^2 + 4l^2\sin^2\alpha}\right). \]
Kemudian, hasil-hasil ini kita masukkan ke persamaan $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$, sehingga kita peroleh kaitan antara $l$ dan $\alpha$, yaitu $l \mapsto \alpha$, lalu kita memperoleh sebuah kurva pelukis yang kita inginkan, yaitu $(x_{l, \alpha}(l_\alpha(\alpha), \alpha), y_{l, \alpha}(l_\alpha(\alpha), \alpha), z_{l, \alpha}(l_\alpha(\alpha), \alpha))$.

Sekian dan terima kasih.