KAMP
Matematika => Kalkulus => Topik dimulai oleh: Roni pada Juni 17, 2018, 07:04:53 PM
-
Berikut ini, saya hendak memperkenalkan cara baru untuk menyatakan ketergantungan sebuah besaran terhadap besaran lain.
Misalkan sebuah besaran $y$ bergantung pada besaran $t$. Kita bisa menuliskan ketergantungan ini sebagai $y \mapsto t$ atau $y = y_t(t)$. Misalkan, besaran $y$ sang sama, bergantung pada besaran $s$. Sekali lagi, kita bisa menuliskan $y = y_s(s)$. Tentu saja $y_t(a)$ belum tentu sama dengan $y_t(b)$, di mana $a$ dan $b$ adalah sebarang besaran. Andaikan besaran $y$ bergantung pada dua besaran yang lain, misalnya $u$ dan $v$. Kita bisa menuliskan ketergantungan ini sebagai $y \mapsto (u,v)$ atau $y = y_{u,v}(u,v)$. Tentu saja, $y_{u,v}(a,b)$ itu belum tentu sama dengan $y_{u,v}(a',b')$, misalnya, di mana $a'$ dan $b'$ adalah dua buah besaran. Tentu pula, $y_{u,v}(b,a)$ belum tentu sama dengan $y_{u,v}(a,b)$.
Jadi, kita bisa menuliskan hubungan ketergantungan sesuka hati kita, misalnya $y = y_t(t) = y_s(s) = y_u(u) = y_{u,v}(u,v)$ dan seterusnya, asalkan besaran $y$, $t$, $s$, $u$, dan $v$ tersebut bukanlah sebuah tetapan.
Ada beberapa teorema awal mengenai metode ini, yaitu sebagai berikut.
\[ \frac{y_t(t+dt) - y}{dt} = \frac{dy}{dt} \]
\[ \frac{y_t(t+dt) - y}{ds} = \frac{y_t(t+dt) - y}{dt}\frac{dt}{ds} = \frac{dy}{dt}\frac{dt}{ds} = \frac{dy}{ds} \]
\[ \frac{y_t(t+ds) - y}{dt} = \frac{y_t(t+ds) - y}{ds}\frac{ds}{dt} = \frac{dy}{dt}\frac{ds}{dt} \]
\[ \frac{y_t(t+ds) - y}{ds} = \frac{dy}{dt} \]
\[ \frac{y_t(s+dt) - y}{dt} = \frac{y_t(s+dt) - y_t(s) + y_t(s) - y}{dt} = \left(\frac{dy}{dt}\right)_t(s) + \frac{y_t(s) - y}{dt} \]
\[ \frac{y_t(s+dt) - y}{ds} = \frac{y_t(s+dt) - y}{dt}\frac{dt}{ds} = \frac{y_t(s+dt) - y_t(s) + y_t(s) - y}{dt}\frac{dt}{ds} = \left(\left(\frac{dy}{dt}\right)_t(s) + \frac{y_t(s) - y}{dt}\right)\frac{dt}{ds} \]
\[ \frac{y_t(s+ds) - y}{dt} = \frac{y_t(s+ds) - y}{ds}\frac{ds}{dt} = \frac{y_t(s+ds) - y_t(s) + y_t(s) - y}{ds}\frac{ds}{dt} = \left(\left(\frac{dy}{dt}\right)_t(s) + \frac{y_t(s) - y}{ds}\right)\frac{ds}{dt} \]
\[ \frac{y_t(s+ds) - y}{ds} = \frac{y_t(s+ds) - y_t(s) + y_t(s) - y}{ds} = \left(\frac{dy}{dt}\right)_t(s) + \frac{y_t(s) - y}{ds} \]
\[ \frac{y_s(t+dt) - y}{dt} = \frac{y_s(t+dt) - y_s(t) + y_s(t) - y}{dt} = \left(\frac{dy}{ds}\right)_s(t) + \frac{y_s(t) - y}{dt} \]
\[ \frac{y_s(t+dt) - y}{ds} = \frac{y_s(t+dt) - y}{dt}\frac{dt}{ds} = \frac{y_s(t+dt) - y_s(t) + y_s(t) - y}{dt}\frac{dt}{ds} = \left(\left(\frac{dy}{ds}\right)_s(t) + \frac{y_s(t) - y}{dt}\right)\frac{dt}{ds} \]
\[ \frac{y_s(t+ds) - y}{dt} = \frac{y_s(t+ds) - y}{ds}\frac{ds}{dt} = \frac{y_s(t+ds) - y_s(t) + y_s(t) - y}{ds}\frac{ds}{dt} = \left(\left(\frac{dy}{ds}\right)_s(t) + \frac{y_s(t) - y}{ds}\right)\frac{ds}{dt} \]
\[ \frac{y_s(t+ds) - y}{ds} = \frac{y_s(t+ds) - y_s(t) + y_s(t) - y}{ds} = \left(\frac{dy}{ds}\right)_s(t) + \frac{y_s(t) - y}{ds} \]
\[ \frac{y_s(s+dt) - y}{dt} = \frac{dy}{ds} \]
\[ \frac{y_s(s+dt) - y}{ds} = \frac{y_s(s+dt) - y}{dt}\frac{dt}{ds} = \frac{dy}{ds}\frac{dt}{ds} \]
\[ \frac{y_s(s+ds) - y}{dt} = \frac{y_s(s+ds) - y}{ds}\frac{ds}{dt} = \frac{dy}{ds}\frac{ds}{dt} = \frac{dy}{dt} \]
\[ \frac{y_s(s+ds) - y}{ds} = \frac{dy}{ds} \]
Semoga teorema-teorema ini berguna.