KAMP
Kategori Umum => Matematika => Topik dimulai oleh: Roni pada Juni 17, 2018, 04:30:14 PM
-
Sebenarnya, 1 radian itu tidak sama dengan 1 tanpa satuan.
Panjang busur lingkaran berjari-jari $R$ dengan sudut pusat $\theta$ sering kali ditulis sebagai $s = \theta R$ apabila kita memakai sistem satuan sedemikian rupa $1\operatorname{rad} = 1$. Apabila kita ingin mengetahui rumus panjang busur lingkaran tersebut yang sebenarnya, tanpa menerapkan penyamaan $1\operatorname{rad} = 1$, maka sebenarnya
\[ s = \frac{\theta}{360^\circ}2\pi R = \frac{\theta}{2\pi\operatorname{rad}}2\pi R = \frac{\theta}{1\operatorname{rad}}R = \frac{\theta R}{\operatorname{rad}}. \]
Inilah rumus panjang busur lingkaran yang sebenarnya.
Sebagai contoh, kita ingin mengetahui panjang busur setengah lingkaran berjari-jari $R$, maka $\theta = 180^\circ = \pi\operatorname{rad}$, sehingga
\[ s = \theta R/\operatorname{rad} = (\pi\operatorname{rad})R/\operatorname{rad} = \pi R. \]
Oleh karena itu, sebenarnya besaran sudut datar itu tetaplah berdimensi, yaitu dimensi sudut datar, dengan satuan SI yaitu radian alias $\operatorname{rad}$.
Masalah ini diangkat, mengingat dalam teori medan kuantum, misalnya, kita sering mengidentikkan $c = \hbar = 1$ meskipun sebenarnya $c$ dan $\hbar$ itu berbeda dimensi dan satuan.
-
Sebenarnya lagi,
\[ \frac{d}{d\theta}\sin\theta \neq \cos\theta \]
tetapi, yang sebenarnya adalah
\[ \frac{d}{d\theta}\sin\theta = \frac{\cos\theta}{\operatorname{rad}} \]
sebab, argumen dari fungsi sinus dan kosinus ini haruslah berupa sudut datar.
Mengapa dipilih radian dan bukan derajat? Alasannya cukup panjang dan detail.
-
Sesungguhnya,
\[ \lim_{\theta\to 0}\frac{\sin\theta}{\theta} = \frac{1}{\operatorname{rad}} \]
dan
\[ \lim_{\theta\to 0}\frac{\theta}{\sin\theta} = 1\,\operatorname{rad} \]